Квантовая теория. Ч. 3. Копытин И.В - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Независимость подсистем позволяет в общем случае представить
полную волновую функцию в виде линейной комбинации произведений
волновых функций подсистем. Однако, из-за вырождения по проекции
момента состояний каждой подсистемы возможны различные способы
построения полной волновой функции. Мы рассмотрим здесь два наи-
более распространенных.
1. В качестве полного набора коммутирующих операторов состав-
ной системы выбираются
ˆ
2
1
, ˆ
1,z
,
ˆ
2
2
, ˆ
2,z
. Состояния |j
1
m
1
, j
2
m
2
i ≡
|j
1
m
1
i |j
2
m
2
i являются собственными функциями всех этих операто-
ров:
ˆ
2
1
|j
1
m
1
, j
2
m
2
i = }
2
j
1
(j
1
+ 1) |j
1
m
1
, j
2
m
2
i;
ˆ
1,z
|j
1
m
1
, j
2
m
2
i = }m
1
|j
1
m
1
, j
2
m
2
i;
ˆ
2
2
|j
1
m
1
, j
2
m
2
i = }
2
j
2
(j
2
+ 1) |j
1
m
1
, j
2
m
2
i;
ˆ
2,z
|j
1
m
1
, j
2
m
2
i = }m
2
|j
1
m
1
, j
2
m
2
i.
(1.55)
Состояния |j
1
m
1
, j
2
m
2
i будем называть состояниями несвязанного
представления. Они определяют пространство размерности (2j
1
+ 1) ×
(2j
2
+ 1).
2. В качестве полного набора коммутирующих операторов выбира-
ются
ˆ
2
1
,
ˆ
2
2
,
ˆ
J
2
,
ˆ
J
z
, где полный момент
ˆ
J определен в (1.54) (проверить
самостоятельно их коммутативность). Их собственные функции — со-
стояния |JMi ≡ |(j
1
j
2
) JMi — называются состояниями связанного
представления. Соотношения, аналогичные (1.55), в связанном пред-
ставлении имеют вид:
ˆ
2
1
|(j
1
j
2
) JMi = }
2
j
1
(j
1
+ 1) |(j
1
j
2
) JMi;
ˆ
2
2
|(j
1
j
2
) JMi = }
2
j
2
(j
2
+ 1) |(j
1
j
2
) JMi;
ˆ
J
2
|(j
1
j
2
) JMi = }
2
J(J + 1) |(j
1
j
2
) JMi;
ˆ
J
z
|(j
1
j
2
) JMi = }M |(j
1
j
2
) JMi.
(1.56)
Состояния |(j
1
j
2
) JMi с фиксированными j
1
, j
2
и значением J, меня-
ющимся через единицу от |j
1
− j
2
| до j
1
− j
2
, образуют пространство
размерности
j=j
1
+j
2
X
j=|j
1
−j
2
|
(2j + 1) = (2j
1
+ 1)(2j
2
+ 1), (1.57)
той же, что и в случае несвязанного представления.
Поскольку размерности обеих пространств одинаковы, волновые
функции связанного и несвязанного представлений связаны унитарным
22
    Независимость подсистем позволяет в общем случае представить
полную волновую функцию в виде линейной комбинации произведений
волновых функций подсистем. Однако, из-за вырождения по проекции
момента состояний каждой подсистемы возможны различные способы
построения полной волновой функции. Мы рассмотрим здесь два наи-
более распространенных.
    1. В качестве полного набора коммутирующих операторов состав-
ной системы выбираются ̂21 , ̂1,z , ̂22 , ̂2,z . Состояния |j1 m1 , j2 m2 i ≡
|j1 m1 i |j2 m2 i являются собственными функциями всех этих операто-
ров:

                   ̂21 |j1 m1 , j2 m2 i = }2 j1 (j1 + 1) |j1 m1 , j2 m2 i ;
                ̂1,z |j1 m1 , j2 m2 i = }m1 |j1 m1 , j2 m2 i ;
                                                                               (1.55)
                   ̂22 |j1 m1 , j2 m2 i = }2 j2 (j2 + 1) |j1 m1 , j2 m2 i ;
                ̂2,z |j1 m1 , j2 m2 i = }m2 |j1 m1 , j2 m2 i .

Состояния |j1 m1 , j2 m2 i будем называть состояниями несвязанного
представления. Они определяют пространство размерности (2j1 + 1) ×
(2j2 + 1).
    2. В качестве полного набора коммутирующих операторов выбира-
ются ̂21 , ̂22 , Ĵ 2 , Jˆz , где полный момент Ĵ определен в (1.54) (проверить
самостоятельно их коммутативность). Их собственные функции — со-
стояния |JM i ≡ |(j1 j2 ) JM i — называются состояниями связанного
представления. Соотношения, аналогичные (1.55), в связанном пред-
ставлении имеют вид:

                  ̂21 |(j1 j2 ) JM i = }2 j1 (j1 + 1) |(j1 j2 ) JM i ;
                  ̂22 |(j1 j2 ) JM i = }2 j2 (j2 + 1) |(j1 j2 ) JM i ;
                                                                               (1.56)
                 Ĵ 2 |(j1 j2 ) JM i = }2 J(J + 1) |(j1 j2 ) JM i ;
                  Jˆz |(j1 j2 ) JM i = }M |(j1 j2 ) JM i .

Состояния |(j1 j2 ) JM i с фиксированными j1 , j2 и значением J, меня-
ющимся через единицу от |j1 − j2 | до j1 − j2 , образуют пространство
размерности
                    j=j
                      X 1 +j2

                              (2j + 1) = (2j1 + 1)(2j2 + 1),     (1.57)
                     j=|j1 −j2 |

той же, что и в случае несвязанного представления.
   Поскольку размерности обеих пространств одинаковы, волновые
функции связанного и несвязанного представлений связаны унитарным



                                            22

Страницы