Квантовая теория. Ч. 3. Копытин И.В - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

тов по отдельности. Для доказательства достаточно вычислить ком-
мутаторы
[ˆs
z
, (
ˆ
s
ˆ
L)] = i}e
z
[
ˆ
L ×
ˆ
s]; [
ˆ
L
z
, (
ˆ
s
ˆ
L)] = i}e
z
[
ˆ
s ×
ˆ
L],
которые не обращаются в нуль. Однако квадраты орбитального, спи-
нового, а также полного момента J = l + s и его проекции J
z
будут со-
храняться. Рекомендуем показать это самостоятельно. Поэтому спин-
угловые функции валентного электрона удобно выбрать в виде (1.68),
т. е. с квантовыми числами j, m
j
, l. Обозначим их
(l
1
2
)jm
j
.
Будем при расчете энергии учитывать спин-орбитальное взаимодей-
ствие по теории возмущений. Нетрудно показать (возводя соотношение
ˆ
J =
ˆ
L +
ˆ
s в квадрат), что
(
ˆ
L
ˆ
s) =
1
2
(
ˆ
J
2
−
ˆ
L
2
−
ˆ
s
2
),
т. е. произведение (
ˆ
L
ˆ
s) диагонализуется вместе с
ˆ
J
2
,
ˆ
L
2
и
ˆ
s
2
. Поэтому
в невозмущенном базисе (1.68) оператор (1.70) остается диагональным,
что позволяет использовать теорию возмущений для невырожденных
уровней. Приведем результат:
E
njl
= E
(0)
nl
+
}
2
4m
2
c
2
j(j + 1) − l(l + 1) −
3
4
1
r
dU
dr
. (1.71)
Для вычисления радиального интеграла нужно знать радиальные вол-
новые функции. Легко увидеть, что у энергии появляется зависимость
от квантового числа j (полного момента). Поскольку, в соответствии с
векторной моделью, j может принимать только два значения l±
1
2
, учет
спин–орбитального взаимодействия приводит к удвоению всех подуров-
ней, кроме s-состояния. Расстояние между ними внутри этого дублета,
как нетрудно показать, равно
}
2
(2l + 1)
4mc
2
1
r
dU
dr
.
Такое расщепление по традиции называется тонким, а возникающее
при этом усложнение спектра — тонкой (или мультиплетной) струк-
турой. В связи с наличием тонкой структуры, спектроскопические
символы принято дополнять справа внизу значением j, например,
2p
1/2
, 2p
3/2
, 3d
3/2
, 3d
5/2
и т. д. Напомним, что для s-состояний все-
гда j =
1
2
.
Тонкое расщепление впервые наблюдалось в атомах натрия на пере-
ходе 4p → 3s. Эксперимент вместо одной линии зафиксировал дублет
27
тов по отдельности. Для доказательства достаточно вычислить ком-
мутаторы

           [ŝz , (ŝL̂)] = i}ez [L̂ × ŝ];    [L̂z , (ŝL̂)] = i}ez [ŝ × L̂],

которые не обращаются в нуль. Однако квадраты орбитального, спи-
нового, а также полного момента J = l + s и его проекции Jz будут со-
храняться. Рекомендуем показать это самостоятельно. Поэтому спин-
угловые функции валентного электрона удобно выбрать в виде (1.68),
т. е. с квантовыми числами j, mj , l. Обозначим их (l 12 )jmj .
    Будем при расчете энергии учитывать спин-орбитальное взаимодей-
ствие по теории возмущений. Нетрудно показать (возводя соотношение
Ĵ = L̂ + ŝ в квадрат), что
                                       1 2       2
                            (L̂ŝ) =     (Ĵ − L̂ − ŝ2 ),
                                       2
                                                                   2     2
т. е. произведение (L̂ŝ) диагонализуется вместе с Ĵ , L̂ и ŝ2 . Поэтому
в невозмущенном базисе (1.68) оператор (1.70) остается диагональным,
что позволяет использовать теорию возмущений для невырожденных
уровней. Приведем результат:
                                                            
               (0)     }2                            3    1 dU
       Enjl = Enl +            j(j + 1) − l(l + 1) −             .   (1.71)
                     4m2 c2                          4    r dr
Для вычисления радиального интеграла нужно знать радиальные вол-
новые функции. Легко увидеть, что у энергии появляется зависимость
от квантового числа j (полного момента). Поскольку, в соответствии с
                                                             1
векторной моделью, j может принимать только два значения l± , учет
                                                             2
спин–орбитального взаимодействия приводит к удвоению всех подуров-
ней, кроме s-состояния. Расстояние между ними внутри этого дублета,
как нетрудно показать, равно
                                          
                         }2 (2l + 1) 1 dU
                                             .
                            4mc2      r dr
Такое расщепление по традиции называется тонким, а возникающее
при этом усложнение спектра — тонкой (или мультиплетной) струк-
турой. В связи с наличием тонкой структуры, спектроскопические
символы принято дополнять справа внизу значением j, например,
2p1/2 , 2p3/2 , 3d3/2 , 3d5/2 и т. д. Напомним, что для s-состояний все-
гда j = 12 .
   Тонкое расщепление впервые наблюдалось в атомах натрия на пере-
ходе 4p → 3s. Эксперимент вместо одной линии зафиксировал дублет


                                              27

Страницы