Теория вероятностей, термодинамика, классическая статистическая физика. Копытин И.В - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

n
N
P
n
(v) = C
n
N
³
v
V
´
n
³
1 −
v
V
´
N−n
.
¯n = N(v/V ) P
n
(v)
P (n) =
N!
n!(N − n)!
³
¯n
N
´
n
³
1 −
¯n
N
´
N−n
=
=
N(N − 1) . . . (N − n + 1)
n!
³
¯n
N
´
n
³
1 −
¯n
N
´
N−n
.
n N
N → ∞,
P (n) = lim
N→∞
N
n
n!
³
¯n
N
´
n
³
1 −
¯n
N
´
N−n
=
=
(¯n)
n
n!
lim
N→∞
³
1 −
¯n
N
´
N
=
(¯n)
n
n!
e
−¯n
.
n >> 1
ln n! ≈ n ln n − n
ln P (n) = n ln ¯n − ¯n −ln n! = n ln ¯n − ¯n + n − n ln n =
= −n ln
n
¯n
+ ∆n = −(∆n + ¯n) ln
µ
1 +
∆n
¯n
+ ∆n.
∆n/¯n << 1
ln P (n) = −(∆n + ¯n)
µ
∆n
¯n
−
(∆n)
2
2¯n
2
+ ∆n = −
∆n
2
2¯n
.
P (n) = C exp
µ
−
(n − ¯n)
2
2¯n
.
                                          �

��������� �������� ����� ������� n ������������ ������� �� ������
����� N � ������������ ���������
                                       � v �n �   v �N −n
                      Pn (v) =   CNn           1−         .
                                        V         V

���������� ������ ���������� �������
   �� ������ n̄ = N (v/V )� ����� �������� Pn(v) ����� �������� � �����
                             N!    � n̄ �n �    n̄ �N −n
                 P (n) =                     1−          =
                         n!(N − n)! N           N

             N (N − 1) . . . (N − n + 1) � n̄ �n �    n̄ �N −n
           =                                       1−          .
                          n!              N           N
�������� �� �������� ������� n �� ��������� � N � �������� � �������
N → ∞, ��������

                                 N n � n̄ �n �     n̄ �N −n
                  P (n) = lim                  1−           =
                           N →∞ n!    N            N
                       (n̄)n      �      n̄ �N    (n̄)n −n̄
                    =         lim 1 −           =      e .
                        n! N →∞          N         n!
��� ������������� �������� �
    �� �������� n >> 1 � �������� �� �������� ������� ����������
ln n! ≈ n ln n − n� ��������

          ln P (n) = n ln n̄ − n̄ − ln n! = n ln n̄ − n̄ + n − n ln n =
                                                  �          �
                     n                                   Δn
            = −n ln + Δn = −(Δn + n̄) ln 1 +                   + Δn.
                     n̄                                   n̄
��� ��� �� ������� ������ Δn/n̄ << 1� �� �������� ����� ���������
� ���� ��� �������� � ���������� �����������
                                   �                �
                                       Δn (Δn)2                  Δn2
          ln P (n) = −(Δn + n̄)           −             + Δn = −     .
                                       n̄   2n̄2                 2n̄

�������                              �            �
                                        (n − n̄)2
                        P (n) = C exp −             .
                                           2n̄

Страницы