Задачи по квантовой механике Ч.1. Копытин И.В - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

46
Глава 4.
Гамильтониан
4.1. Временное уравнение Шредингера
Волновая функция реальной физической системы в общем случае
находится из решение временн´ого уравнения Шредингера:
i}
∂Ψ
∂t
=
ˆ
HΨ, (4.1)
где
ˆ
H — гамильтониан системы. Подобно уравнениям Ньютона в клас-
сической механике, а также уравнениям Максвелла в электродинами-
ке, уравнение Шредингера не выводится, а постулируется. Критерием
правильности данного уравнения является совпадение вытекающих из
него фактов с экспериментальными данными.
Для одной частицы, движущейся в поле с заданной потенциальной
функцией V (r, t), гамильтониан
ˆ
H =
ˆp
2
2m
+ V (r, t),
так что уравнение (4.1) принимает вид:
i}
∂
∂t
Ψ(r, t) =
−
}
2
2m
∇
2
+ V (r, t)
Ψ(r, t). (4.2)
Граничные условия к нему вытекают из стандартных условий.
Гамильтониан многочастичной системы строится следующим обра-
зом: вначале записываются операторы кинетических и потенциальных
энергий всех частиц, а также их потенциальных функций, а затем они
суммируются. В частности, для системы N взаимодействующих частиц
массами m
i
во внешних полях V
i
(r, t) гамильтониан имеет вид:
ˆ
H =
N
X
i=1
"
ˆ
p
2
i
2m
i
+ V
i
(r
i
, t)
#
+
1
2
N
X
i,j=1
Φ
ij
(r
ij
), (4.3)
                                         46




Глава 4.

Гамильтониан

4.1.   Временное уравнение Шредингера
   Волновая функция реальной физической системы в общем случае
находится из решение временно́го уравнения Шредингера:

                                      ∂Ψ
                                 i}      = ĤΨ,                       (4.1)
                                      ∂t

где Ĥ — гамильтониан системы. Подобно уравнениям Ньютона в клас-
сической механике, а также уравнениям Максвелла в электродинами-
ке, уравнение Шредингера не выводится, а постулируется. Критерием
правильности данного уравнения является совпадение вытекающих из
него фактов с экспериментальными данными.
    Для одной частицы, движущейся в поле с заданной потенциальной
функцией V (r, t), гамильтониан

                                 p̂2
                            Ĥ =     + V (r, t),
                                 2m
так что уравнение (4.1) принимает вид:
                                                     
                  ∂                    }2 2
               i}    Ψ(r, t) =       −    ∇ + V (r, t) Ψ(r, t).       (4.2)
                  ∂t                   2m

Граничные условия к нему вытекают из стандартных условий.
   Гамильтониан многочастичной системы строится следующим обра-
зом: вначале записываются операторы кинетических и потенциальных
энергий всех частиц, а также их потенциальных функций, а затем они
суммируются. В частности, для системы N взаимодействующих частиц
массами mi во внешних полях Vi (r, t) гамильтониан имеет вид:
                    N
                       "                       #      N
                   X      p̂2i                    1 X
              Ĥ =               + Vi (r i , t) +         Φij (rij ), (4.3)
                   i=1
                         2m    i                  2 i,j=1

Страницы