Задачи по квантовой механике Ч.1. Копытин И.В - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

48
4.2. Плотность потока вероятности
На основании самосопряженности гамильтониана можно показать,
что плотность вероятности (1.3) в трехмерном случае удовлетворяет
уравнению непрерывности, выражающему закон сохранения количе-
ства вещества в нерелятивистской физике:
∂
∂t
w(r, t) + div j(r, t) = 0,
где величина j(r, t) имеет смысл плотности потока вероятности и свя-
зана с волновой функцией Ψ(r, t) соотношением:
j(r, t) =
}
2mi
[Ψ
∗
(r, t)∇Ψ(r, t) − Ψ(r, t)∇Ψ
∗
(r, t)], (4.4)
m — масса частицы.
Для частицы с зарядом e локальная зарядовая плотность дается
выражением ρ
e
(r, t) = ew(r, t), а плотность электрического тока, обу-
словленного движением частицы, — соотношением j
e
(r, t) = ej(r, t).
Стандартное условие непрерывности волновой функции необходи-
мо для обеспечения конечности плотности потока вероятности.
Пример 4.3. Состояние частицы массой m задается волной де Брой-
ля (1.1). Вычислить плотность потока вероятности распределения
этой частицы.
Решение. Непосредственное использование формулы (4.4) дает
j = |C|
2
p
m
. (4.5)
Легко заметить, что при выборе нормировочной константы C = 1 вы-
ражение (4.5) будет давать классическую скорость частицы. Такая
нормировка часто используется в теории рассеяния.
4.3. Стационарные состояния
В квантовой механике особая роль отводится системам, гамильто-
ниан которых не зависит от времени явным образом:
ˆ
H(ξ, t) =
ˆ
H(ξ)
(так называемая стационарная постановка задачи). В этом случае в
квантовой системе могут быть реализованы стационарные состояния,
                                      48


4.2.   Плотность потока вероятности
   На основании самосопряженности гамильтониана можно показать,
что плотность вероятности (1.3) в трехмерном случае удовлетворяет
уравнению непрерывности, выражающему закон сохранения количе-
ства вещества в нерелятивистской физике:
                         ∂
                            w(r, t) + div j(r, t) = 0,
                         ∂t
где величина j(r, t) имеет смысл плотности потока вероятности и свя-
зана с волновой функцией Ψ(r, t) соотношением:

                       }
          j(r, t) =       [Ψ∗ (r, t)∇Ψ(r, t) − Ψ(r, t)∇Ψ∗ (r, t)],   (4.4)
                      2mi
m — масса частицы.
   Для частицы с зарядом e локальная зарядовая плотность дается
выражением ρe (r, t) = ew(r, t), а плотность электрического тока, обу-
словленного движением частицы, — соотношением j e (r, t) = ej(r, t).
   Стандартное условие непрерывности волновой функции необходи-
мо для обеспечения конечности плотности потока вероятности.
Пример 4.3. Состояние частицы массой m задается волной де Брой-
ля (1.1). Вычислить плотность потока вероятности распределения
этой частицы.
Решение. Непосредственное использование формулы (4.4) дает

                                            p
                                 j = |C|2     .                      (4.5)
                                            m

Легко заметить, что при выборе нормировочной константы C = 1 вы-
ражение (4.5) будет давать классическую скорость частицы. Такая
нормировка часто используется в теории рассеяния.             


4.3.   Стационарные состояния
   В квантовой механике особая роль отводится системам, гамильто-
ниан которых не зависит от времени явным образом: Ĥ(ξ, t) = Ĥ(ξ)
(так называемая стационарная постановка задачи). В этом случае в
квантовой системе могут быть реализованы стационарные состояния,

Страницы