Задачи по квантовой механике. Копытин И.В - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

и r
1
. Знаки «±» в формуле (7.3) соответствуют симметричной (анти-
симметричной) функции относительно перестановки переменных и вы-
бираются согласованно.
Антисимметричная спиновая функция соответствует двухэлектрон-
ному состоянию с полным спином S = 0 (так называемое синглетное
спиновое состояние — с антипараллельными спинами электронов) и
выражается через одночастичные спиновые функции χ
±
(они задают
состояния одного электрона с s
z
= ±
}
2
) следующим образом:
χ
(−)
(1, 2) =
1
√
2
[χ
+
(1)χ
−
(2) − χ
+
(2)χ
−
(1)]. (7.4)
Симметричные спиновые функции задают двухэлектронные состоя-
ния с полным спином S = 1 (триплетное спиновое состояние — с парал-
лельными спинами) и тремя различными проекциями на выделенное
направление S
z
= 0, ±}:
χ
(+)
(1, 2) =
(
[χ
+
(1)χ
−
(2) + χ
+
(2)χ
−
(1)]/
√
2, S
z
= 0,
χ
±
(1)χ
±
(2), S
z
= ±}.
(7.5)
Спиновые функции χ
(±)
ортонормированы (проверить самостоятель-
но!).
Координатная двухэлектронная волновая функция Φ
(±)
(r
1
, r
2
) в са-
мом общем случае строится из ортонормированных одноэлектронных
функций Ψ
1,2
(r) аналогично спиновой:
Φ
(±)
(r
1
, r
2
) =
1
√
2
[Ψ
1
(r
1
)Ψ
2
(r
2
) ± Ψ
1
(r
2
)Ψ
2
(r
1
)]. (7.6)
Множитель
1
√
2
в формулах (7.4)–(7.6) введен для сохранения норми-
ровки (проверить самостоятельно!). Индексы 1 и 2 идентифицируют
одночастичные состояния электронов. На их месте могут стоять пары
квантовых чисел: главного и орбитального. Поэтому для обозначения
электронных конфигураций атома гелия можно использовать наборы
водородных спектроскопических символов: 1s
2
, 1s2s, 1s2p и др. Заме-
тим также, что одноэлектронные функции не обязаны в точности сов-
падать с водородными. Они должны лишь верно отражать угловую
зависимость и нужное количество раз обращаться в нуль.
Таким образом, после сделанных допущений задача сводится к на-
хождению одноэлектронных координатных волновых функций, с ко-
торыми затем вычисляется знергия атома гелия. При решении данной
задачи в дальнейшем мы используем уже известные нам приближенные
методы.
63
и r 1 . Знаки «±» в формуле (7.3) соответствуют симметричной (анти-
симметричной) функции относительно перестановки переменных и вы-
бираются согласованно.
    Антисимметричная спиновая функция соответствует двухэлектрон-
ному состоянию с полным спином S = 0 (так называемое синглетное
спиновое состояние — с антипараллельными спинами электронов) и
выражается через одночастичные спиновые функции χ± (они задают
состояния одного электрона с sz = ± }2 ) следующим образом:

                             1
               χ(−) (1, 2) = √ [χ+ (1)χ− (2) − χ+ (2)χ− (1)].                 (7.4)
                              2
   Симметричные спиновые функции задают двухэлектронные состоя-
ния с полным спином S = 1 (триплетное спиновое состояние — с парал-
лельными спинами) и тремя различными проекциями на выделенное
направление Sz = 0, ±}:
                   (                                   √
                    [χ + (1)χ − (2) + χ + (2)χ − (1)]/   2, Sz = 0,
     χ(+) (1, 2) =                                                   (7.5)
                    χ± (1)χ± (2),                           Sz = ±}.

Спиновые функции χ(±) ортонормированы (проверить самостоятель-
но!).
   Координатная двухэлектронная волновая функция Φ(±) (r 1 , r 2 ) в са-
мом общем случае строится из ортонормированных одноэлектронных
функций Ψ1,2 (r) аналогично спиновой:
                               1
           Φ(±) (r 1 , r 2 ) = √ [Ψ1 (r 1 )Ψ2 (r 2 ) ± Ψ1 (r 2 )Ψ2 (r 1 )].   (7.6)
                                2

Множитель √12 в формулах (7.4)–(7.6) введен для сохранения норми-
ровки (проверить самостоятельно!). Индексы 1 и 2 идентифицируют
одночастичные состояния электронов. На их месте могут стоять пары
квантовых чисел: главного и орбитального. Поэтому для обозначения
электронных конфигураций атома гелия можно использовать наборы
водородных спектроскопических символов: 1s2 , 1s2s, 1s2p и др. Заме-
тим также, что одноэлектронные функции не обязаны в точности сов-
падать с водородными. Они должны лишь верно отражать угловую
зависимость и нужное количество раз обращаться в нуль.
   Таким образом, после сделанных допущений задача сводится к на-
хождению одноэлектронных координатных волновых функций, с ко-
торыми затем вычисляется знергия атома гелия. При решении данной
задачи в дальнейшем мы используем уже известные нам приближенные
методы.


                                         63

Страницы