Задачи по квантовой механике. Копытин И.В - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

∆E
1s
2
=
ZZ
Ψ
(0)∗
1s
2
(r
1
, r
2
)
ˆ
V
12
Ψ
(0)
1s
2
(r
1
, r
2
) d
3
r
1
d
3
r
2
,
или после подстановки явного вида функции Ψ
(0)
1s
2
и оператора
ˆ
V
12
∆E
1s
2
=
Z
6
e
2
π
2
a
6
0
ZZ
|r
1
− r
2
|
−1
e
−
2Z
a
0
(r
1
+r
2
)
d
3
r
1
d
3
r
2
. (7.9)
Интеграл в выражении (7.9) удобно вычислять с использованием из-
вестного разложения:
|r
1
− r
2
|
−1
=
∞
X
L=0
L
X
M=−L
4π
2L + 1
r
L
<
r
L+1
>
Y
∗
LM
(θ
1
, ϕ
1
) Y
LM
(θ
2
, ϕ
2
), (7.10)
где r
<
= min(r
1
, r
2
), r
>
= max(r
1
, r
2
), позволяющего достаточно просто
провести интегрирование по углам. Подставляя (7.10) в (7.9) и искус-
ственно вводя в подынтегральную функцию множитель
4π Y
00
(θ
1
, ϕ
1
) Y
∗
00
(θ
2
, ϕ
2
) ≡ 1,
получаем:
∆E
1s
2
=
16Z
6
e
2
a
6
0
X
LM
1
2L + 1
ZZ
r
L
<
r
L+1
>
e
−
2Z
a
0
(r
1
+r
2
)
r
2
1
r
2
2
dr
1
dr
2
×
×
Z
Y
∗
LM
(θ
1
, ϕ
1
) Y
00
(θ
1
, ϕ
1
) dΩ
1
| {z }
δ
L0
δ
M0
Z
Y
∗
00
(θ
2
, ϕ
2
) Y
LM
(θ
2
, ϕ
2
) dΩ
2
| {z }
δ
L0
δ
M0
=
=
16Z
6
e
2
a
6
0
∞
ZZ
0
1
r
>
e
−
2Z
a
0
(r
1
+r
2
)
r
2
1
r
2
2
dr
1
dr
2
. (7.11)
При интегрировании в (7.11) по углам мы воспользовались свойством
ортогональности сферических функций. Для вычисления радиального
интеграла в (7.11) сделаем замену переменных t
1,2
=
2Z
a
0
r
1,2
, после чего
выражение для поправки к энергии примет вид
∆E
1s
2
=
1
2
ZE
a
∞
ZZ
0
1
t
>
e
−(t
1
+t
2
)
t
2
1
t
2
2
dt
1
dt
2
. (7.12)
Двойной интеграл в выражении (7.12) сводится к повторным, которые
вычисляются по формуле Ньютона – Лейбница (выполнить самосто-
ятельно!):
65
                             ZZ
                                      (0)∗                  (0)
              ∆E1s2 =              Ψ1s2 (r 1 , r 2 )V̂12 Ψ1s2 (r 1 , r 2 ) d3 r1 d3 r2 ,
                                                                      (0)
или после подстановки явного вида функции Ψ1s2 и оператора V̂12
                          ZZ
                   Z 6 e2                      2Z
          ∆E1s2 = 2 6        |r 1 − r 2 |−1 e− a0 (r1 +r2 ) d3 r1 d3 r2 . (7.9)
                   π a0
Интеграл в выражении (7.9) удобно вычислять с использованием из-
вестного разложения:
                         ∞ L                L
                  −1
                         X X         4π    r<   ∗
   |r 1 − r 2 |        =                   L+1
                                               YLM (θ1 , ϕ1 ) YLM (θ2 , ϕ2 ),                  (7.10)
                                   2L + 1 r>
                         L=0 M =−L

где r< = min(r1 , r2 ), r> = max(r1 , r2 ), позволяющего достаточно просто
провести интегрирование по углам. Подставляя (7.10) в (7.9) и искус-
ственно вводя в подынтегральную функцию множитель
                                                    ∗
                                4π Y00 (θ1 , ϕ1 ) Y00 (θ2 , ϕ2 ) ≡ 1,
получаем:
                                ZZ       L
          16Z 6 e2 X 1                  r<    − 2Z
                                                a0 (r1 +r2 ) 2 2
  ∆E1s2 =    6                          L+1
                                            e               r1 r2 dr1 dr2 ×
            a0         2L + 1         r >
                   LM
      Z                                  Z
          ∗                                  ∗
    × YLM (θ1 , ϕ1 ) Y00 (θ1 , ϕ1 ) dΩ1 Y00    (θ2 , ϕ2 ) YLM (θ2 , ϕ2 ) dΩ2 =
      |             {z                 }|                 {z                }
                           δL0 δM 0                                  δL0 δM 0
                                                 Z Z∞
                                    16Z 6 e2              1 − 2Z
                                  =                         e a0 (r1 +r2 ) r12 r22 dr1 dr2 .   (7.11)
                                      a60                r>
                                                    0

При интегрировании в (7.11) по углам мы воспользовались свойством
ортогональности сферических функций. Для вычисления радиального
интеграла в (7.11) сделаем замену переменных t1,2 = 2Z
                                                    a0 r1,2 , после чего
выражение для поправки к энергии примет вид
                                             Z Z∞
                                 1                   1 −(t1 +t2 ) 2 2
                        ∆E1s2   = ZEa                  e         t1 t2 dt1 dt2 .               (7.12)
                                 2                  t>
                                             0

Двойной интеграл в выражении (7.12) сводится к повторным, которые
вычисляются по формуле Ньютона – Лейбница (выполнить самосто-
ятельно!):



                                                    65

Страницы