Задачи по квантовой механике. Копытин И.В - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

∞
ZZ
0
1
t
>
e
−(t
1
+t
2
)
t
2
1
t
2
2
dt
1
dt
2
=
=
Z
∞
0
dt
1
t
1
e
−t
1
Z
t
1
0
t
2
2
e
−t
2
dt
2
+ t
2
1
e
−t
1
Z
+∞
t
1
t
2
e
−t
2
dt
2
=
5
4
.
Таким образом, величина поправки ∆E
1s
2
=
5
8
ZE
a
, т. е. пропорци-
ональна первой степени Z, а величина энергии основного состояния
E
1s
2
= −
Z
2
−
5
8
Z
E
a
, (7.13)
т. е. несколько выше «невозмущенного» значения за счет кулоновского
отталкивания электронов.
При малых Z условие
∆E
1s
2
E
(0)
1s
2
(7.14)
не выполняется, и результат, даваемый выражением (7.13), возможно,
окажется недостаточно точным. С увеличением Z «невозмущенная»
энергия E
(0)
1s
2
возрастает квадратично и условие (7.14) начинает выпол-
няться. Следовательно, полученное нами выражение (7.13) будет спра-
ведливым при больших значениях Z.
Первый потенциал ионизации равняется разности между энерги-
ями 1s-состояния соответствующего водородоподобного иона и 1s
2
-
состояния исследуемого гелиеподобного иона:
I = E
1s
− E
1s
2
=
1
2
Z
2
−
5
4
Z
E
a
. (7.15)
Пример 7.2. Решить предыдущую задачу вариационным методом.
Предполагать, что действие кулоновского поля ядра на каждый элек-
трон экранируется полем электрона-партнера, и рассматривать од-
ночастичное состояние электрона как водородное в поле точечного
«эффективного» заряда Z
∗
e. Величину Z
∗
считать вариационным па-
раметром, подлежащим определению.
Решение. Вид пробной функции будет аналогичен (7.7) с заменой
Z → Z
∗
:
Ψ
1s
2
(r
1
, r
2
; Z
∗
) =
Z
∗3
πa
3
0
e
−
Z
∗
a
0
(r
1
+r
2
)
. (7.16)
66
  Z Z∞
          1 −(t1 +t2 ) 2 2
            e         t1 t2 dt1 dt2 =
         t>
   0
               Z ∞               Z t1                  Z    +∞                      
                              −t1       2 −t2      2 −t1                 −t2                 5
             =      dt1 t1 e           t2 e dt2 + t1 e            t2 e         dt2       =     .
                 0              0                           t1                               4

                                              5
   Таким образом, величина поправки ∆E1s2 = ZEa , т. е. пропорци-
                                              8
ональна первой степени Z, а величина энергии основного состояния
                                       
                                  2  5
                      E1s2 = − Z − Z Ea ,                     (7.13)
                                     8
т. е. несколько выше «невозмущенного» значения за счет кулоновского
отталкивания электронов.
    При малых Z условие
                                              (0)
                                 ∆E1s2  E1s2                                            (7.14)

не выполняется, и результат, даваемый выражением (7.13), возможно,
окажется недостаточно точным. С увеличением Z «невозмущенная»
          (0)
энергия E1s2 возрастает квадратично и условие (7.14) начинает выпол-
няться. Следовательно, полученное нами выражение (7.13) будет спра-
ведливым при больших значениях Z.
   Первый потенциал ионизации равняется разности между энерги-
ями 1s-состояния соответствующего водородоподобного иона и 1s2 -
состояния исследуемого гелиеподобного иона:
                                            
                                  1    2  5
                 I = E1s − E1s2 =    Z − Z Ea .                (7.15)
                                  2       4

                                                                                                   

Пример 7.2. Решить предыдущую задачу вариационным методом.
Предполагать, что действие кулоновского поля ядра на каждый элек-
трон экранируется полем электрона-партнера, и рассматривать од-
ночастичное состояние электрона как водородное в поле точечного
«эффективного» заряда Z ∗ e. Величину Z ∗ считать вариационным па-
раметром, подлежащим определению.
Решение. Вид пробной функции будет аналогичен (7.7) с заменой
Z → Z∗:
                                          Z ∗3 − Za ∗ (r1 +r2 )
                Ψ1s2 (r 1 , r 2 ; Z ∗ ) =      e 0              . (7.16)
                                          πa30


                                        66

Страницы