Задачи по квантовой механике. Копытин И.В - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Поскольку операторы
ˆ
H
(0)
i
и
ˆ
V
12
не действуют на спиновые пере-
менные, при вычислении их матричных элементов в состояниях (7.3)
спиновые волновые функции будут опущены (их ортонормированность
это допускает), т. е. вместо (7.3) будут фигурировать (7.6) (спин-
орбитальным взаимодействием пренебрегается).
7.1. Теория основного состояния атома гелия
Отметим вначале, что координатная волновая функция основ-
ного состояния обязана быть симметричной относительно перестановки
r
1
r
2
, т. к. в противном случае на конечном расстоянии от силово-
го центра Φ
(−)
(r, r) ≡ 0. Поэтому полный спин основного состояния,
согласно (7.3), (7.4), будет нулевым.
Одноэлектронные координатные функции основного состояния ато-
ма гелия в силу высокой симметрии основного состояния естественно
выбрать одинаковыми и наиболее простыми, т. е. ограничиться
s-состояниями, а радиальные функции выбрать так, чтобы они не об-
ращались в нуль на конечных расстояниях. Другими словами, основное
состояние атома гелия будет иметь конфигурацию 1s
2
. Данный вы-
бор можно осуществить различными способами. Рассмотрим некоторые
из них.
Пример 7.1. Вычислить энергию основного состояния гелиоподобно-
го с зарядом ядра Ze, рассматривая межэлектронное взаимодействие
ˆ
V
12
в качестве возмущения. Найти первый потенциал ионизации ато-
ма гелия в основном состоянии.
Решение. В качестве невозмущенных функций в нашем случае есте-
ственно выбрать собственные функции оператора
ˆ
H
(0)
1
+
ˆ
H
(0)
2
. Легко
показать, что они будут составлены из произведений водородных функ-
ций — собственных функций оператора (7.2). Для 1s
2
-состояния
Ψ
(0)
1s
2
(r
1
, r
2
) = Ψ
(0)
1s
(r
1
)Ψ
(0)
1s
(r
2
) =
Z
3
πa
3
0
e
−
Z
a
0
(r
1
+r
2
)
. (7.7)
Функция (7.7) нормирована на единицу.
Очевидно, невозмущенное значение энергии равно удвоенной энер-
гии 1s-состояния атома водорода:
E
(0)
1s
2
= 2E
1s
= −Z
2
E
a
, (7.8)
где E
a
= e
2
/a
0
— атомная единица энергии.
Поправка первого порядка к энергии, как следует из (2.5), равняет-
ся среднему значению энергии межэлектронного взаимодействия
ˆ
V
12
в
состоянии (7.7):
64
                                        (0)
   Поскольку операторы Ĥi и V̂12 не действуют на спиновые пере-
менные, при вычислении их матричных элементов в состояниях (7.3)
спиновые волновые функции будут опущены (их ортонормированность
это допускает), т. е. вместо (7.3) будут фигурировать (7.6) (спин-
орбитальным взаимодействием пренебрегается).

7.1.   Теория основного состояния атома гелия
        Отметим вначале, что координатная волновая функция основ-
ного состояния обязана быть симметричной относительно перестановки
r 1  r 2 , т. к. в противном случае на конечном расстоянии от силово-
го центра Φ(−) (r, r) ≡ 0. Поэтому полный спин основного состояния,
согласно (7.3), (7.4), будет нулевым.
    Одноэлектронные координатные функции основного состояния ато-
ма гелия в силу высокой симметрии основного состояния естественно
выбрать одинаковыми и наиболее простыми, т. е. ограничиться
s-состояниями, а радиальные функции выбрать так, чтобы они не об-
ращались в нуль на конечных расстояниях. Другими словами, основное
состояние атома гелия будет иметь конфигурацию 1s2 . Данный вы-
бор можно осуществить различными способами. Рассмотрим некоторые
из них.
Пример 7.1. Вычислить энергию основного состояния гелиоподобно-
го с зарядом ядра Ze, рассматривая межэлектронное взаимодействие
V̂12 в качестве возмущения. Найти первый потенциал ионизации ато-
ма гелия в основном состоянии.
Решение. В качестве невозмущенных функций в нашем случае есте-
                                                    (0)    (0)
ственно выбрать собственные функции оператора Ĥ1 + Ĥ2 . Легко
показать, что они будут составлены из произведений водородных функ-
ций — собственных функций оператора (7.2). Для 1s2 -состояния
           (0)                     (0)       (0)           Z 3 − aZ (r1 +r2 )
          Ψ1s2 (r 1 , r 2 )   =   Ψ1s (r 1 )Ψ1s (r 2 )   =      e 0           .   (7.7)
                                                           πa30
Функция (7.7) нормирована на единицу.
   Очевидно, невозмущенное значение энергии равно удвоенной энер-
гии 1s-состояния атома водорода:
                                  (0)
                              E1s2 = 2E1s = −Z 2 Ea ,                             (7.8)
где Ea = e2 /a0 — атомная единица энергии.
   Поправка первого порядка к энергии, как следует из (2.5), равняет-
ся среднему значению энергии межэлектронного взаимодействия V̂12 в
состоянии (7.7):


                                              64

Страницы