Задачи по квантовой механике. Копытин И.В - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

H
−
можно даже в рамках вариационного метода, используя как мини-
мум двухпараметрическую пробную функцию
1
.
Рассмотренная нами техника без труда может быть обобщена и на
случай возбужденных состояний типа (nl)
2
c n > 1, которые, однако,
нестабильны (Обоснование см. в [3]).
7.2. Теория возбужденного состояния атома гелия
В этом параграфе мы рассмотрим двухэлектронные конфигурации
типа nln
0
l
0
для несовпадающих пар (nl) 6= (n
0
l
0
).
Пример 7.3. Найти энергию возбужденного nln
0
l
0
-состояния гелио-
подобного иона с зарядовым числом ядра Z. Кулоновское взаимодей-
ствие электронов рассматривать как возмущение. Двухчастичную
волновую функцию выбрать в виде симметризованного должным об-
разом произведения одноэлектронных функций.
Решение. Будем обозначать состояние (nl) одним индексом «1», а состо-
яние (n
0
l
0
) — индексом «2». Предположим, что первый электрон при-
веден в одночастичное водородное состояние Ψ
1
(r) с энергией E
(0)
1
, а
второй — в состояние Ψ
2
(r) с энергией E
(0)
2
.
Невозмущенная двухчастичная волновая функция может быть по-
строена из одночастичных различными способами в зависимости от
спинового состояния. Ниже эти способы рассмотрены раздельно.
а) В синглетном состоянии с антипараллельными спинами (S = 0,
S
z
= 0) согласно (7.3), (7.4) координатная волновая функция будет
симметричной. Ее вид дается формулой (7.6) со знаком «плюс». Реко-
мендуем самостоятельно показать, что невозмущенное значение энер-
гии гелиеподобного иона
E
(0)
= E
(0)
1
+ E
(0)
2
. (7.18)
Поправка первого порядка к энергии вычисляется стандартным мето-
дом. Используя (7.6), получаем:
∆E
(S=0)
= hnln
0
l
0
|
ˆ
W |nln
0
l
0
i =
=
ZZ
Φ
(+)∗
(r
1
, r
2
)
e
2
|r
1
− r
2
|
Φ
(+)
(r
1
, r
2
) d
3
r
1
d
3
r
2
=
=
1
2
ZZ
Ψ
∗
1
(r
1
)Ψ
∗
2
(r
2
)
e
2
|r
1
− r
2
|
Ψ
1
(r
1
)Ψ
2
(r
2
) d
3
r
1
d
3
r
2
| {z }
A
1
+
1
Подробнее см. [3].
69
H − можно даже в рамках вариационного метода, используя как мини-
мум двухпараметрическую пробную функцию 1 .
   Рассмотренная нами техника без труда может быть обобщена и на
случай возбужденных состояний типа (nl)2 c n > 1, которые, однако,
нестабильны (Обоснование см. в [3]).

7.2.      Теория возбужденного состояния атома гелия
   В этом параграфе мы рассмотрим двухэлектронные конфигурации
типа nln0 l0 для несовпадающих пар (nl) 6= (n0 l0 ).
Пример 7.3. Найти энергию возбужденного nln0 l0 -состояния гелио-
подобного иона с зарядовым числом ядра Z. Кулоновское взаимодей-
ствие электронов рассматривать как возмущение. Двухчастичную
волновую функцию выбрать в виде симметризованного должным об-
разом произведения одноэлектронных функций.
Решение. Будем обозначать состояние (nl) одним индексом «1», а состо-
яние (n0 l0 ) — индексом «2». Предположим, что первый электрон при-
                                                                (0)
веден в одночастичное водородное состояние Ψ1 (r) с энергией E1 , а
                                        (0)
второй — в состояние Ψ2 (r) с энергией E2 .
   Невозмущенная двухчастичная волновая функция может быть по-
строена из одночастичных различными способами в зависимости от
спинового состояния. Ниже эти способы рассмотрены раздельно.
   а) В синглетном состоянии с антипараллельными спинами (S = 0,
Sz = 0) согласно (7.3), (7.4) координатная волновая функция будет
симметричной. Ее вид дается формулой (7.6) со знаком «плюс». Реко-
мендуем самостоятельно показать, что невозмущенное значение энер-
гии гелиеподобного иона
                                      (0)      (0)      (0)
                                  E         = E1 + E2 .                                 (7.18)
Поправка первого порядка к энергии вычисляется стандартным мето-
дом. Используя (7.6), получаем:
  ∆E (S=0) = hnln0 l0 | Ŵ |nln0 l0 i =
             ZZ
                   (+)∗                    e2
           =    Φ        (r 1 , r 2 )              Φ(+) (r 1 , r 2 ) d3 r1 d3 r2 =
                                      |r 1 − r 2 |
            
            
            
            ZZ
          1        ∗          ∗             e2
       =         Ψ1 (r 1 )Ψ2 (r 2 )                  Ψ1 (r 1 )Ψ2 (r 2 ) d3 r1 d3 r2 +
          2                           |r 1 − r 2 |
            
            |                                  {z                                }
                                                   A1
  1   Подробнее см. [3].


                                              69

Страницы