Задачи по квантовой механике. Копытин И.В - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

+
ZZ
Ψ
∗
1
(r
2
)Ψ
∗
2
(r
1
)
e
2
|r
1
− r
2
|
Ψ
1
(r
1
)Ψ
2
(r
2
) d
3
r
1
d
3
r
2
| {z }
A
2
+
+
ZZ
Ψ
∗
1
(r
1
)Ψ
∗
2
(r
2
)
e
2
|r
1
− r
2
|
Ψ
1
(r
2
)Ψ
2
(r
1
) d
3
r
1
d
3
r
2
| {z }
A
3
+
+
ZZ
Ψ
∗
1
(r
2
)Ψ
∗
2
(r
1
)
e
2
|r
1
− r
2
|
Ψ
1
(r
2
)Ψ
2
(r
1
) d
3
r
1
d
3
r
2
| {z }
A
4
. (7.19)
Так как в (7.19) по переменным r
1
и r
2
проводится интегрирование,
то эти переменные можно переименовывать. Если в слагаемых A
2
и A
4
осуществить переобозначение r
1
r
2
, то A
1
совпадет с A
4
, а A
2
—
с A
3
. Выражение (7.19) для поправки к энергии при этом несколько
упростится:
∆E
(S=0)
= Q + A,
где
Q =
ZZ
Ψ
∗
1
(r
1
)Ψ
∗
2
(r
2
)
e
2
|r
1
− r
2
|
Ψ
1
(r
1
)Ψ
2
(r
2
) d
3
r
1
d
3
r
2
— (7.20)
энергия прямого кулоновского взаимодействия («кулоновская» энер-
гия);
A =
ZZ
Ψ
∗
1
(r
1
)Ψ
∗
2
(r
2
)
e
2
|r
1
− r
2
|
Ψ
1
(r
2
)Ψ
2
(r
1
) d
3
r
1
d
3
r
2
— (7.21)
энергия обменного кулоновского взаимодействия («обменная» энер-
гия).
Классическим аналогом Q является энергия кулоновского взаимо-
действия двух непрерывно распределенных зарядов. Наличие «обмен-
ной» компоненты A обусловлено тем, что каждый электрон с неко-
торой вероятностью может находиться как в состоянии «1», так и в
состоянии «2». «Обменная» энергия по своей природе является тоже
кулоновской, хотя классического аналога не имеет. Следует заметить,
что разбиение энергии взаимодействия электронов на «прямую» и «об-
менную» компоненты весьма условно, поскольку они обе входят в вы-
ражение для полной энергии атома:
E
(S=0)
nln
0
l
0
= E
(0)
1
+ E
(0)
2
+ Q + A. (7.22)
70
               ZZ
                                                   e2
           +           Ψ∗1 (r 2 )Ψ∗2 (r 1 )                Ψ1 (r 1 )Ψ2 (r 2 ) d3 r1 d3 r2 +
                                              |r 1 − r 2 |
               |                                      {z                                }
                                                        A2
               ZZ
                                                   e2
           +           Ψ∗1 (r 1 )Ψ∗2 (r 2 )                Ψ1 (r 2 )Ψ2 (r 1 ) d3 r1 d3 r2 +
                                              |r 1 − r 2 |
               |                                      {z                                }
                                                        A3
                                                                                            
                                                                                            
                                                                                            
                 ZZ                                                                         
                                                    e2                                      
           +            Ψ∗1 (r 2 )Ψ∗2 (r 1 )                Ψ1 (r 2 )Ψ2 (r 1 ) d3 r1 d3 r2 .    (7.19)
                                               |r 1 − r 2 |                               
                 |                                     {z                                }
                                                                                          
                                                                                          
                                                        A4

Так как в (7.19) по переменным r 1 и r 2 проводится интегрирование,
то эти переменные можно переименовывать. Если в слагаемых A2 и A4
осуществить переобозначение r 1  r 2 , то A1 совпадет с A4 , а A2 —
с A3 . Выражение (7.19) для поправки к энергии при этом несколько
упростится:
                         ∆E (S=0) = Q + A,
где
            ZZ
                                                 e2
      Q=             Ψ∗1 (r 1 )Ψ∗2 (r 2 )                Ψ1 (r 1 )Ψ2 (r 2 ) d3 r1 d3 r2 —       (7.20)
                                            |r 1 − r 2 |

энергия прямого кулоновского взаимодействия («кулоновская» энер-
гия);
         ZZ
                                      e2
      A=    Ψ∗1 (r 1 )Ψ∗2 (r 2 )              Ψ1 (r 2 )Ψ2 (r 1 ) d3 r1 d3 r2 — (7.21)
                                 |r 1 − r 2 |

энергия обменного кулоновского взаимодействия («обменная» энер-
гия).
   Классическим аналогом Q является энергия кулоновского взаимо-
действия двух непрерывно распределенных зарядов. Наличие «обмен-
ной» компоненты A обусловлено тем, что каждый электрон с неко-
торой вероятностью может находиться как в состоянии «1», так и в
состоянии «2». «Обменная» энергия по своей природе является тоже
кулоновской, хотя классического аналога не имеет. Следует заметить,
что разбиение энергии взаимодействия электронов на «прямую» и «об-
менную» компоненты весьма условно, поскольку они обе входят в вы-
ражение для полной энергии атома:
                                  (S=0)           (0)        (0)
                               Enln0 l0 = E1 + E2 + Q + A.                                      (7.22)


                                                        70

Страницы