Линейные операторы. Корешков Н.А. - 25 стр.

 Пусть x = x1v1 + ... + xn vn произвольный вектор из пространства V.
Тогда
                          n              n     m            m       n
                ϕ ( x ) = ∑ xiϕ ( vi ) = ∑ xi ∑ a ji w j = ∑ ( ∑ a ji xi )w j .
                         i =1           i =1   j =1         j =1   i =1


 Т.е. координаты вектора y = ϕ ( x ) = y1 w1 + ... + y m wm вычисляются с
помощью следующего матричного равенства:
                                     ⎛ y1 ⎞     ⎛ x1 ⎞
                                     ⎜ ⎟        ⎜ ⎟
                                     ⎜ M ⎟ = Aϕ ⎜ M ⎟ .
                                     ⎜y ⎟       ⎜x ⎟
                                     ⎝ m⎠       ⎝ n⎠

 Следовательно, для вычисления координат образа любого вектора
достаточно знать матрицу соответствующего линейного оператора.
И наоборот, при фиксированных базисах в пространствах V и W лю-
бая матрица A размера m × n задает оператор φ, если принять напи-
санное выше равенство за определение. Нами доказана
 Теорема 2.1. Пусть V =< v1 ,..., vn > и W =< w1 ,..., wm > - линейные про-
странства с фиксированными базисами. Тогда существует взаим-
но однозначное соответствие между элементами из Homk (V , W ) и
m × n - матрицами с коэффициентами из основного поля k.
 Примеры.
    1. Пусть φ - поворот каждого вектора на угол α в плоскости R 2 .
В качестве базисных векторов возьмем взаимно перпендикулярные
векторы e1 , e2 единичной длины. Тогда ϕ (e1 ) = u + v = cos α ⋅ e1 + sin α ⋅ e2 .