Линейные операторы. Корешков Н.А. - 27 стр.

 Если V n-мерное векторное пространство, а e1 ,..., en и e'1 ,..., e' n два
его базиса, то линейный оператор ϕ ∈ Homk (V , V ) определяет две
матрицы:
         n                         n
 ϕei = ∑ a ji e j или Aei = ∑ a ji e j и
         j =1                      j =1

          n                               n
 ϕe' i = ∑ a ' ji e' j или A' e'i = ∑ a ' ji e' j . (В матричном варианте под век-
         j =1                             j =1


тором ei понимаем столбец (0, …, 1, … 0)t – единица на i-том мес-
те)
 Через T обозначим матрицу перехода от базиса e1 ,..., en к базису
                             n             n
e'1 ,..., e' n . Пусть x = ∑ xi ei = ∑ x ' i e' i два представления вектора x ∈ V в
                            i =1          i =1


двух различных базисах. Тогда
                            ⎛ y1 ⎞     ⎛ x1 ⎞                 ⎛ y1 ⎞     ⎛ x1 ⎞
                       Y = ⎜⎜ M ⎟⎟ = A⎜⎜ M ⎟⎟ = AX   ,   Y = ⎜⎜ M ⎟⎟ = A⎜⎜ M ⎟⎟ = AX   .
                            ⎜ yn ⎟     ⎜ xn ⎟                 ⎜ yn ⎟     ⎜ xn ⎟
                            ⎝ ⎠        ⎝ ⎠                    ⎝ ⎠        ⎝ ⎠

 Кроме того, в силу параграфа 2 главы 1 X = TX ' , Y = TY ' (т.к. Y и Y '
координаты          одного и того же вектора                                  y = ϕ (x ) ).   Поэтому
ATX ' = AX = Y = TY ' = TA' X ' . Т.к.               X'     - произвольный столбец, то
AT = TA' или A' = T −1 AT .

 Матрицы A и A' , связанные последним соотношением, принято
называть подобными матрицами. Нами доказана
 Теорема 2.9. Матрицы линейного оператора, заданные в разных
базисах, подобны.
 Пример. Матрица линейного оператора в базисе e1 , e2 , e3 имеет

        ⎡ 4     5 − 2⎤
вид:    ⎢ − 2 − 2 1 ⎥ . Найти матрицу этого оператора в базисе
        ⎢             ⎥
        ⎣⎢ − 1 − 1 1 ⎦⎥

e'1 = e1 − e2 + e3 , e' 2 = 2e1 − e2 + 3e3 , e' 3 = 3e1 + e2 + 6e3 .