Линейные операторы. Корешков Н.А. - 28 стр.

 Для вычисления произведения T −1 Aϕ отметим, что матрицу T −1

можно рассматривать как произведение элементарных матриц, воз-
никающих при приведении матрицы T к единичной. Поэтому, вы-
полняя с матрицей Aϕ те же элементарные преобразования в том же

порядке, которые производятся с матрицей T получим T −1 Aϕ .

  ⎡1     2 3 4     5 − 2 ⎤ ⎡1 2 3 4    5 − 2⎤
  ⎢                      ⎥ ⎢                 ⎥
  ⎢ − 1 − 1 1 − 2 − 2 1 ⎥ ~ ⎢0 1 4 2   3 − 1⎥ ~
  ⎢⎣ 1   3 6 − 1 − 1 1 ⎥⎦ ⎢⎣0 1 3 − 5 − 6 3 ⎥⎦

⎡1 2 3 4       5 − 2⎤ ⎡1 2 0 − 17 − 22 10⎤
⎢                    ⎥ ⎢                    ⎥
⎢0 1 4 2       3 − 1⎥ ~ ⎢0 1 0 − 26 − 33 15⎥ ~
⎢⎣0 0 − 1 − 7 − 9 4 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 − 1 − 7 − 9 4 ⎥⎦

⎡1 0 0 35    44 − 20⎤
⎢                     ⎥
⎢0 1 0 − 26 − 33 15 ⎥ .
⎢⎣0 0 1 7    9   − 4 ⎥⎦

                                          ⎡ 35   44 − 20⎤
 Вычисляя произведение матрицы T −1 Aϕ = ⎢⎢− 26 − 33 15 ⎥⎥ и матри-
                                          ⎢⎣ 7   9   − 4 ⎥⎦

цы T , получим что оператор ϕ в базисе e'1 , e' 2 , e' 3 , действует сле-
дующим образом: ϕ (e'1 ) = −29e'1 +22e' 2 −6e' 3 , ϕ (e' 2 ) = −34e'1 +26e' 2 −7e' 3 ,
ϕ (e' 3 ) = 29e'1 −21e' 2 +6e' 3 .



 3.      Алгебра линейных операторов


 Введенная ранее алгебра квадратных матриц M n (k ) с коэффициен-
тами из поля k может быть описана как алгебра линейных операто-
ров n-мерного векторного пространства.
 Множество Homk(V, V) в дальнейшем будем обозначать Endk(V)
или End(V). Зададим на End(V) операции сложения, умножения и
умножения на элементы из k. Пусть ϕ ,ψ ∈ End (V ),α ∈ k , тогда: