Линейные операторы. Корешков Н.А. - 30 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

=
=
nn
y
y
x
x
AxA MM
11
ϕϕ
,
=
=
n
i
ijij
xay
1
(здесь
)(
rs
aA =
ϕ
). Тогда )()()()())(()( xAxAxxxxA
ψϕψϕ
ψ
ϕ
ψ
ϕ
+=
+
=
+
=
+
,
Vx ,
ψϕ
ψ
ϕ
AA
+
+ . Соответственно,
)())(())(()( xAxxxA
ϕλϕ
λ
ϕ
λ
λϕ
=
=
= ,
Vx
, т.е.
ϕ
λ
λϕ
A .
Наконец,
=
===
∑∑
==
n
j
ji
n
i
ji
exbxxxA
11
))(())(()(
ϕψϕϕψ
ϕψ
∑∑∑∑
=====
=
n
k
kkj
n
j
i
n
i
jij
n
j
i
n
i
ji
eaxbexb
11111
)(
ϕ
()
xAAexba
k
n
k
i
n
i
n
j
jikj
ψϕ
=
=
∑∑∑
== =11 1
, Vx
(здесь
(
)
rs
bA
=
ψ
), т.е.
ψϕ
ϕ
ψ
AA
.
4. Инвариантные подпространства и собственные
векторы
Определение 4.1. Подпространство
U пространства V называ-
ется инвариантным относительно оператора
()
VEnd
ϕ
, если
UU
ϕ
. Обозначим через
U
|
ограничение линейного оператора
на подпространство
U , а через
U
A
|
φ
его матрицу.
Если
m
ee ,...,
1
базис пространства
U
, то, дополняя его до базиса
nm
eee ,...,,...,
1
пространства V , получим, что матрица
ϕ
A линейного
оператора
ϕ
в этом базисе имеет вид:
=
B
CA
A
u
0
ϕ
,
                                       ⎛ x1 ⎞ ⎛ y1 ⎞
                                       ⎜ ⎟ ⎜ ⎟                 n
                             Aϕ x = Aϕ ⎜ M ⎟ = ⎜ M ⎟ , y j = ∑ a ji xi
                                       ⎜x ⎟ ⎜ y ⎟            i =1
                                       ⎝ n⎠ ⎝ n⎠
 (здесь Aϕ = (a rs ) ). Тогда Aϕ +ψ ( x) = (ϕ + ψ )( x) = ϕ ( x) + ψ ( x) = Aϕ ( x) + Aψ ( x) ,

∀x ∈ V ,                          ϕ + ψ → Aϕ + Aψ .                                                     Соответственно,

Aλϕ ( x ) = ( λϕ )( x ) = λ (ϕ ( x )) = λAϕ ( x ) , ∀x ∈ V , т.е. λϕ → λAϕ .

    Наконец,
                                      ⎛   n      n                ⎞     n     n                         n     n                n
Aϕψ ( x) = (ϕψ )( x) = ϕ (ψ ( x)) = ϕ ⎜
                                      ⎜   ∑∑          b ji xi e j ⎟ =
                                                                  ⎟     ∑∑          b ji xiϕ (e j ) =   ∑∑          b ji xi   ∑a     kj ek
                                      ⎝   j =1   i =1             ⎠     j =1 i =1                       j =1 i =1             k =1

   n ⎛ n
              ⎛ n      ⎞ ⎞
= ∑ ⎜ ∑ ⎜⎜ ∑ akj b ji ⎟⎟xi ⎟ek = Aϕ Aψ ( x ) , ∀x ∈ V (здесь Aψ = (brs ) ), т.е. ϕψ → Aϕ Aψ .
       ⎜
  k =1 ⎝ i =1 ⎝ j =1
                           ⎟
                       ⎠ ⎠



 4. Инвариантные подпространства и собственные
векторы


 Определение 4.1. Подпространство U пространства V называ-
ется инвариантным относительно оператора ϕ ∈ End (V ) , если
ϕU ⊆ U . Обозначим через φ |U ограничение линейного оператора φ

на подпространство U , а через Aφ | его матрицу.                U




 Если e1 ,..., em базис пространства U , то, дополняя его до базиса
e1 ,..., em ,..., en пространства V , получим, что матрица Aϕ линейного

оператора ϕ в этом базисе имеет вид:
                                                          ⎡A            C⎤
                                                     Aϕ = ⎢ u                ,
                                                          ⎣0            B ⎥⎦