ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
nn
y
y
x
x
AxA MM
11
ϕϕ
,
∑
=
=
n
i
ijij
xay
1
(здесь
)(
rs
aA =
ϕ
). Тогда )()()()())(()( xAxAxxxxA
ψϕψϕ
ψ
ϕ
ψ
ϕ
+=
+
=
+
=
+
,
Vx ∈∀ ,
ψϕ
ψ
ϕ
AA
+
→+ . Соответственно,
)())(())(()( xAxxxA
ϕλϕ
λ
ϕ
λ
λϕ
=
=
= ,
Vx
∈
∀
, т.е.
ϕ
λ
λϕ
A→ .
Наконец,
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
===
∑∑
==
n
j
ji
n
i
ji
exbxxxA
11
))(())(()(
ϕψϕϕψ
ϕψ
∑∑∑∑∑
=====
=
n
k
kkj
n
j
i
n
i
jij
n
j
i
n
i
ji
eaxbexb
11111
)(
ϕ
()
xAAexba
k
n
k
i
n
i
n
j
jikj
ψϕ
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
∑∑∑
== =11 1
, Vx
∈
∀
(здесь
(
)
rs
bA
=
ψ
), т.е.
ψϕ
ϕ
ψ
AA→
.
4. Инвариантные подпространства и собственные
векторы
Определение 4.1. Подпространство
U пространства V называ-
ется инвариантным относительно оператора
()
VEnd
∈
ϕ
, если
UU ⊆
ϕ
. Обозначим через
U
|
φ
ограничение линейного оператора
φ
на подпространство
U , а через
U
A
|
φ
его матрицу.
Если
m
ee ,...,
1
базис пространства
U
, то, дополняя его до базиса
nm
eee ,...,,...,
1
пространства V , получим, что матрица
ϕ
A линейного
оператора
ϕ
в этом базисе имеет вид:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
B
CA
A
u
0
ϕ
,
⎛ x1 ⎞ ⎛ y1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ n Aϕ x = Aϕ ⎜ M ⎟ = ⎜ M ⎟ , y j = ∑ a ji xi ⎜x ⎟ ⎜ y ⎟ i =1 ⎝ n⎠ ⎝ n⎠ (здесь Aϕ = (a rs ) ). Тогда Aϕ +ψ ( x) = (ϕ + ψ )( x) = ϕ ( x) + ψ ( x) = Aϕ ( x) + Aψ ( x) , ∀x ∈ V , ϕ + ψ → Aϕ + Aψ . Соответственно, Aλϕ ( x ) = ( λϕ )( x ) = λ (ϕ ( x )) = λAϕ ( x ) , ∀x ∈ V , т.е. λϕ → λAϕ . Наконец, ⎛ n n ⎞ n n n n n Aϕψ ( x) = (ϕψ )( x) = ϕ (ψ ( x)) = ϕ ⎜ ⎜ ∑∑ b ji xi e j ⎟ = ⎟ ∑∑ b ji xiϕ (e j ) = ∑∑ b ji xi ∑a kj ek ⎝ j =1 i =1 ⎠ j =1 i =1 j =1 i =1 k =1 n ⎛ n ⎛ n ⎞ ⎞ = ∑ ⎜ ∑ ⎜⎜ ∑ akj b ji ⎟⎟xi ⎟ek = Aϕ Aψ ( x ) , ∀x ∈ V (здесь Aψ = (brs ) ), т.е. ϕψ → Aϕ Aψ . ⎜ k =1 ⎝ i =1 ⎝ j =1 ⎟ ⎠ ⎠ 4. Инвариантные подпространства и собственные векторы Определение 4.1. Подпространство U пространства V называ- ется инвариантным относительно оператора ϕ ∈ End (V ) , если ϕU ⊆ U . Обозначим через φ |U ограничение линейного оператора φ на подпространство U , а через Aφ | его матрицу. U Если e1 ,..., em базис пространства U , то, дополняя его до базиса e1 ,..., em ,..., en пространства V , получим, что матрица Aϕ линейного оператора ϕ в этом базисе имеет вид: ⎡A C⎤ Aϕ = ⎢ u , ⎣0 B ⎥⎦
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- …
- следующая ›
- последняя »