Линейные операторы. Корешков Н.А. - 31 стр.

                   ⎡a11 ...a1m ⎤
 где Au = Aϕ |   = ⎢ .......... ⎥ - матрица ограничения линейного операто-
             U     ⎢               ⎥
                   ⎢⎣a m1 ...a mm ⎥⎦

ра ϕ на подпространство U , а C, B - некоторые матрицы с коэффи-
циентами из k размеров m × (n − m ) и (n − m ) × (n − m ) соответственно.
 Если у инвариантного подпространства U существует дополни-
тельное инвариантное подпространство W , т.е V = U ⊕ W и ϕW ⊆ W ,
то матрица оператора ϕ ∈ End (V ) имеет вид:
                                       ⎡A     0⎤
                                  Aϕ = ⎢ u          ,
                                       ⎣0     Aw ⎥⎦

           ⎡a11 ...a1m ⎤          ⎡a m+1,m+1 ...a m +1,n ⎤
 где Au = ⎢⎢.......... ⎥⎥ и Aw = ⎢⎢..................... ⎥⎥ - матрицы ограничения ли-
           ⎢⎣a m1 ...a mm ⎥⎦      ⎢⎣a n ,m +1 ...a n ,n   ⎥⎦

нейного оператора ϕ на подпространства U и W . В этом случае го-
ворят о прямой сумме операторов ϕ = ϕ u ⊕ ϕ w и прямой сумме мат-
риц A = Au ⊕ Aw , соответствующих разложению V = U ⊕ W в прямую
сумму подпространств.
 Матрица линейного оператора приобретает совсем простой вид
(является диагональной), если найдутся n одномерных инвариант-
                                               n
ных подпространств U i таких, что V = ⊕ U i , n = dim V .
                                              i =1


 Такие подпространства выделяются специальным определением.
 Определение 4.2. Вектор v ∈ V , v ≠ 0 называется собственным
вектором оператора ϕ ∈ End k (V ) , если для некоторого λ ∈ k выпол-
няется соотношение ϕv = λv . Скаляр λ называют собственным
значением оператора ϕ .