Линейные операторы. Корешков Н.А. - 32 стр.

 Зафиксируем некоторый базис e1 ...en пространства V . Пусть

     ⎡a11 ...a1n ⎤                                             n
Aϕ = ⎢........... ⎥ матрица оператора ϕ в этом базисе, а v = ∑ xi ei - раз-
     ⎢               ⎥                                       i =1
     ⎢⎣a n1 ...a nn ⎥⎦

ложение вектора v по этому базису. Тогда, используя отождествле-
                                       ⎛ x1 ⎞
                      n                ⎜ ⎟
ние вектора v = ∑ xi ei , со столбцами ⎜ M ⎟ , из его координат, условие
                i =1                   ⎜x ⎟
                                       ⎝ n⎠

ϕv = λ0 v, λ0 ∈ k можно переписать как Aϕ v = λ0 v или (Aϕ − λ0 E )v = 0 , где

E - единичная матрица. В координатной форме последнее соотно-

шение приобретает вид:
                          ⎛ ⎡a11 ...a1n ⎤ ⎡λ0 0...0⎤ ⎞⎛ x1 ⎞
                          ⎜⎢             ⎥ ⎢           ⎥ ⎟⎜ ⎟
                          ⎜ ⎢........... ⎥ − ⎢0λ0 ...0 ⎥ ⎟⎜M ⎟ = 0
                          ⎜ ⎢a ...a ⎥ ⎢00...λ ⎥ ⎟⎜ x ⎟
                          ⎝ ⎣ n1 nn ⎦ ⎣              0 ⎦ ⎠⎝ n ⎠


   Или
                           (a11 − λ0 )x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = 0
                           a 21 x1 + (a 22 − λ0 )x 2 + ... + a 2 n x n = 0
                                                                             .   (1)
                           KKKKKKKKKKKKKK
                           a n1 x1 + a n 2 x 2 + ... + (a nn − λ0 )x n = 0
                n
 Так как v = ∑ xi ei ≠ 0 , т.е. система имеет ненулевое решение, то
               i =1


Aϕ − λ0 E = 0 . Уравнение       Aϕ − λ E = 0 называют характеристическим

уравнением оператора ϕ , а многочлен Aϕ − λE называется характе-

ристическим многочленом. Полученный факт означает, что собст-
венное значение любого линейного оператора является корнем его
характеристического многочлена (или для краткости – характери-
стическим корнем).