Линейные операторы. Корешков Н.А. - 34 стр.

 Теорема 4.2. Если оператор ϕ ∈ End k (V ) имеет n = dim k V различ-
ных собственных значений, принадлежащих полю k , то существу-
ет базис пространства V , в котором матрица Aϕ этого оператора

имеет вид:
                                           ⎡λ1 0...0 ⎤
                                      Aϕ = ⎢0λ2 ...0 ⎥ .
                                           ⎢          ⎥
                                           ⎣⎢00...λn ⎦⎥

 Доказательство. Как видно из предыдущих рассуждений, ка-
ждому собственному значению отвечает хотя бы один ненулевой
собственный вектор. Поэтому для доказательства теоремы доста-
точно проверить, что набор из собственных векторов, отвечающих
различным собственным значениям, линейно независим.
 Доказательство этого факта проведем индукцией по количеству
векторов t в этом наборе.
 При t=1 утверждение очевидно. Пусть оно справедливо при любых
t ≤ s . Докажем его при t=s+1. Предположим противное, то есть для

некоторого набора собственных векторов v1 ,..., v s +1 с собственными
значениями λ1 ,..., λ s +1 ∈ k , λi ≠ λ j , когда i ≠ j , существует нетривиаль-

ная линейная зависимость: α1v1 + ... + α s +1v s +1 = 0 . Применяя к этому
соотношению оператор ϕ , получим α1λ1v1 + ... + α s +1λs +1v s +1 = 0 . Умно-
жая первое соотношение на λs +1 и вычитая из него второе, получим
α1 (λs +1 − λ1 )v1 + ... + α s (λs +1 − λs )v s = 0 . Из линейной независимости векто-

ров v1 ,..., v s и условий λs +1 − λi ≠ 0, i = 1,..., s следует равенство нулю
                                                 s +1
α1 , α 2 ,..., α s . Тогда из соотношения        ∑α v
                                                 i =1
                                                        i i   = 0 получается, что и

α s +1 = 0 ,   и мы приходим к противоречию с условием, что
  (α1 ,..., α s+1 ) ≠ (0,...,0) .