Линейные операторы. Корешков Н.А. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

То есть значения функций
λ
и
()
j
n
j
j
e
λλ
∑
=1
на любом векторе совпа-
дают, следовательно
()
j
n
j
j
e
λλλ
∑
=
=
1
.
Проверим линейную независимость функций
ni
i
,...,1, =
λ
. Если
0
1
=
∑
=
i
n
i
i
a
λ
, то, вычисляя значение левой и правой части нашего ра-
венства на векторе
j
e , имеем nja
j
,...,1,0
=
=
. Итак, функции
ni
i
,...,1, =
λ
образуют базис
*
V , то есть VV
kk
dimdim
*
= .
Само название пространства
*
V , двойственного к
V
и двойствен-
ных базисов
nn
ee
λ
λ
,...,,,...,
11
связано “двусторонней симметрией” ме-
жду
V
и
*
V
. Условимся временно вместо )(xf писать ),( xf . Тем са-
мым определено отображение
kVV →×
*
, линейное по каждому ар-
гументу:
()
(
)
),(,, xgxfxgf
β
α
β
α
+
=
+
,
()()
(
)
kVyxVgfygxfyxf ∈∈∈+=+
βαβαβα
,,,,,,,,,
*
.
Отображения
kWV →× с указанными свойствами принято назы-
вать билинейными. Пользуясь двойственными базисами и представ-
ляя через них элементы
nn
eex
α
α
+
+
=
...
11
,
nn
f
λ
β
λ
β
+
+
=
...
11
, легко
вычислить значение
....),()(
11 nn
xfxf
β
α
β
α
+
+
=
=
Рассмотрим одну конструкцию, связанную с линейными операто-
рами в двойственном пространстве. При любом фиксированном
элементе
*
Vf ∈ и )(VEnd
k
∈
ϕ
отображение
(
)
)(,, VEndxfx
k
∈→
ϕ
ϕ
снова является элементом из
*
V , то есть линейной функцией:
()()()
(
)()
(
)
(
)
(
)
(
)
.,,,, yfxfyxfyxf
β
α
βϕ
αϕ
β
α
+
=
+
=
+
                                                           ∑ λ (e )λ
                                                              n
 То есть значения функций λ и                                        j   j   на любом векторе совпа-
                                                              j =1


дают, следовательно

                                                λ = ∑ λ (e j )λ j .
                                                       n


                                                       j =1


 Проверим линейную независимость функций λi , i = 1,..., n . Если
 n

∑a λ
i =1
       i   i   = 0 , то, вычисляя значение левой и правой части нашего ра-

венства на векторе e j , имеем a j = 0, j = 1,..., n . Итак, функции

λi , i = 1,..., n образуют базис V * , то есть dim k V * = dim k V .

 Само название пространства V * , двойственного к V и двойствен-
ных базисов e1 ,..., en , λ1 ,..., λn связано “двусторонней симметрией” ме-
жду V и V * . Условимся временно вместо f (x ) писать ( f , x ) . Тем са-
мым определено отображение V * × V → k , линейное по каждому ар-
гументу:
                                    (αf + βg , x ) = α ( f , x ) + β ( g , x ) ,
                  ( f ,αx + βy ) = α ( f , x ) + β (g , y ), f , g ∈ V * , x, y ∈ V ,α , β ∈ k .
 Отображения V × W → k с указанными свойствами принято назы-
вать билинейными. Пользуясь двойственными базисами и представ-
ляя через них элементы x = α1e1 + ... + α n en , f = β1λ1 + ... + β n λn , легко
вычислить значение
                                     f ( x) = ( f , x) = α 1 β 1 + ... + α n β n .

 Рассмотрим одну конструкцию, связанную с линейными операто-
рами в двойственном пространстве. При любом фиксированном
элементе f ∈ V * и ϕ ∈ End k (V ) отображение x → ( f , ϕx ), ϕ ∈ End k (V )
снова является элементом из V * , то есть линейной функцией:
  ( f , ϕ (αx + βy )) = ( f , αϕ (x ) + βϕ ( y )) = α ( f , ϕ (x )) + β ( f , ϕ ( y )).

Страницы