ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
странства
*
V
сопряженный оператор
*
ϕ
имеет транспонирован-
ную матрицу
)(
**
*
ij
t
aAAA ===
ϕ
.
Содержательным примером использования понятия сопряженного
оператора является следующее утверждение.
Теорема 5.3. Всякий комплексный линейный оператор
)(VEnd
C
∈
ϕ
на конечномерном векторном пространстве V обладает инвари-
антной гиперплоскостью (или
)1(
−
n -мерным-инвариантным под-
пространством).
Доказательство. Пусть
nV
C
=
dim . Для любой ненулевой ли-
нейной функции
f на
V
, 1dim
−
=
nKerf
k
. Из замечания к теореме
4.1 следует, что у комплексного линейного оператора обязательно
есть хотя бы один собственный вектор. Пусть
*
Vf ∈ собственный
вектор оператора
*
ϕ
, отвечающий собственному значению
λ
. Тогда,
используя определяющее соотношение (5.1), для любого вектора
Kerfx ∈ имеем: ))(,(),(),(),(0
*
xfxfxfxf
ϕϕλλ
==== , т.е. Kerfx ∈)(
ϕ
.
Это означает, что
Kerf — инвариантное подпространство. Теорема
доказана.
6. Триангулизация линейного оператора и теорема Га-
мильтона-Кэли
Триангулизацией линейного оператора называют выбор такого ба-
зиса в пространстве, где действует этот оператор, что матрица опе-
ратора имеет треугольный вид. Т.е. все элементы матрицы, распо-
ложенные выше или ниже главной диагонали, нулевые.
Теорема 6.1. Для любого
линейного оператора
∈
ϕ
End
C
(V), дейст-
вующего в конечномерном комплексном пространстве V существу-
ет базис, в котором матрица оператора A
φ
имеет треугольный
вид.
странства V * сопряженный оператор ϕ * имеет транспонирован- ную матрицу At = Aϕ = A* = ( aij* ) . * Содержательным примером использования понятия сопряженного оператора является следующее утверждение. Теорема 5.3. Всякий комплексный линейный оператор ϕ ∈ End C (V ) на конечномерном векторном пространстве V обладает инвари- антной гиперплоскостью (или (n − 1) -мерным-инвариантным под- пространством). Доказательство. Пусть dim C V = n . Для любой ненулевой ли- нейной функции f на V , dim k Kerf = n − 1 . Из замечания к теореме 4.1 следует, что у комплексного линейного оператора обязательно есть хотя бы один собственный вектор. Пусть f ∈ V * собственный вектор оператора ϕ * , отвечающий собственному значению λ . Тогда, используя определяющее соотношение (5.1), для любого вектора x ∈ Kerf имеем: 0 = λ ( f , x ) = ( λf , x ) = (ϕ * f , x ) = ( f , ϕ ( x )) , т.е. ϕ ( x ) ∈ Kerf . Это означает, что Kerf — инвариантное подпространство. Теорема доказана. 6. Триангулизация линейного оператора и теорема Га- мильтона-Кэли Триангулизацией линейного оператора называют выбор такого ба- зиса в пространстве, где действует этот оператор, что матрица опе- ратора имеет треугольный вид. Т.е. все элементы матрицы, распо- ложенные выше или ниже главной диагонали, нулевые. Теорема 6.1. Для любого линейного оператора ϕ ∈ EndC(V), дейст- вующего в конечномерном комплексном пространстве V существу- ет базис, в котором матрица оператора Aφ имеет треугольный вид.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 36
- 37
- 38
- 39
- 40
- …
- следующая ›
- последняя »