Линейные операторы. Корешков Н.А. - 38 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

странства
*
V
сопряженный оператор
*
ϕ
имеет транспонирован-
ную матрицу
)(
**
*
ij
t
aAAA ===
ϕ
.
Содержательным примером использования понятия сопряженного
оператора является следующее утверждение.
Теорема 5.3. Всякий комплексный линейный оператор
)(VEnd
C
ϕ
на конечномерном векторном пространстве V обладает инвари-
антной гиперплоскостью (или
)1(
n -мерным-инвариантным под-
пространством).
Доказательство. Пусть
nV
C
=
dim . Для любой ненулевой ли-
нейной функции
f на
V
, 1dim
=
nKerf
k
. Из замечания к теореме
4.1 следует, что у комплексного линейного оператора обязательно
есть хотя бы один собственный вектор. Пусть
*
Vf собственный
вектор оператора
*
ϕ
, отвечающий собственному значению
λ
. Тогда,
используя определяющее соотношение (5.1), для любого вектора
Kerfx имеем: ))(,(),(),(),(0
*
xfxfxfxf
ϕϕλλ
==== , т.е. Kerfx )(
ϕ
.
Это означает, что
Kerf инвариантное подпространство. Теорема
доказана.
6. Триангулизация линейного оператора и теорема Га-
мильтона-Кэли
Триангулизацией линейного оператора называют выбор такого ба-
зиса в пространстве, где действует этот оператор, что матрица опе-
ратора имеет треугольный вид. Т.е. все элементы матрицы, распо-
ложенные выше или ниже главной диагонали, нулевые.
Теорема 6.1. Для любого
линейного оператора
ϕ
End
C
(V), дейст-
вующего в конечномерном комплексном пространстве V существу-
ет базис, в котором матрица оператора A
φ
имеет треугольный
вид.
странства V * сопряженный оператор ϕ * имеет транспонирован-
ную матрицу At = Aϕ = A* = ( aij* ) .
                             *




 Содержательным примером использования понятия сопряженного
оператора является следующее утверждение.
 Теорема 5.3. Всякий комплексный линейный оператор ϕ ∈ End C (V )
на конечномерном векторном пространстве V обладает инвари-
антной гиперплоскостью (или (n − 1) -мерным-инвариантным под-
пространством).
 Доказательство. Пусть dim C V = n . Для любой ненулевой ли-
нейной функции f на V , dim k Kerf = n − 1 . Из замечания к теореме
4.1 следует, что у комплексного линейного оператора обязательно
есть хотя бы один собственный вектор. Пусть f ∈ V * собственный
вектор оператора ϕ * , отвечающий собственному значению λ . Тогда,
используя определяющее соотношение (5.1), для любого вектора
x ∈ Kerf имеем: 0 = λ ( f , x ) = ( λf , x ) = (ϕ * f , x ) = ( f , ϕ ( x )) , т.е. ϕ ( x ) ∈ Kerf .

Это означает, что Kerf — инвариантное подпространство. Теорема
доказана.
 6. Триангулизация линейного оператора и теорема Га-
мильтона-Кэли


 Триангулизацией линейного оператора называют выбор такого ба-
зиса в пространстве, где действует этот оператор, что матрица опе-
ратора имеет треугольный вид. Т.е. все элементы матрицы, распо-
ложенные выше или ниже главной диагонали, нулевые.
 Теорема 6.1. Для любого линейного оператора ϕ ∈ EndC(V), дейст-
вующего в конечномерном комплексном пространстве V существу-
ет базис, в котором матрица оператора Aφ имеет треугольный
вид.