Линейные операторы. Корешков Н.А. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Доказательство. Доказательство проведем индукцией по раз-
мерности пространства V. Если
1dim
=
V
C
, то утверждение триви-
ально. Предположим, что теорема справедлива для любого про-
странства V, размерность которого
n
<
, и рассмотрим пространство
V,
nV
C
=dim . По теореме 5.3 в пространстве V существует подпро-
странство
U
, 1dim −= nU
c
и UU ⊆
ϕ
. По предположению индукции в
подпространстве
U
существует базис
n
vv ,...,
2
такой, что матрица ог-
раничения линейного оператора
ϕ
на подпространстве
U
имеет
вид:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
nnnn
aaa
aa
a
A
K
MMM
K
K
32
3332
22
0
00
ϕ
,
т.е.
∑
+=
+=
n
ij
jjiiiii
vavav
1
ϕ
, ni ,...,2
=
. Дополним базис подпространства
U
до базиса
n
vvvV ,...,,:
21
. Т.к.
∑
=
=
n
j
jj
vav
1
11
ϕ
, то матрица оператора
ϕ
A
равна
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
nnnn
aaa
aa
a
K
MMM
K
K
21
2221
11
0
00
.
Теорема доказана.
Т.к. характеристический многочлен
|| EA
λ
−
треугольной матрицы
равен
∏
=
−
n
i
ii
a
1
)(
λ
, то диагональные элементы
ii
a этой матрицы сов-
падают с корнями характеристического многочлена.
Обозначим через
)(
λ
χ
A
характеристический многочлен матрицы
A , а через )(
λ
χ
ϕ
характеристический многочлен оператора
ϕ
. 
 Доказательство. Доказательство проведем индукцией по раз-
мерности пространства V. Если dim C V = 1 , то утверждение триви-
ально. Предположим, что теорема справедлива для любого про-
странства V, размерность которого < n , и рассмотрим пространство
V, dim C V = n . По теореме 5.3 в пространстве V существует подпро-
странство U , dim c U = n − 1 и ϕU ⊆ U . По предположению индукции в
подпространстве U существует базис v2 ,..., vn такой, что матрица ог-

раничения линейного оператора ϕ на подпространстве U имеет
вид:
                                               ⎡ a 22         0 K           0⎤
                                               ⎢a            a 33 K         0⎥
                                          Aϕ = ⎢ 32                             ⎥,
                                               ⎢ M            M             M ⎥
                                               ⎢                                ⎥
                                               ⎣a n 2        an3         K a nn ⎦
                          n
 т.е. ϕvi = aii vi +    ∑a
                        j =i +1
                                  ji   v j , i = 2,..., n . Дополним базис подпространства

                                                                   n
U до базиса V : v1 , v2 ,..., vn . Т.к. ϕv1 = ∑ a j1v j , то матрица оператора Aϕ
                                                                  j =1


равна
                                             ⎡ a11     0          K  0⎤
                                             ⎢a       a 22        K  0⎥
                                             ⎢ 21                        ⎥.
                                             ⎢ M        M            M ⎥
                                             ⎢                           ⎥
                                             ⎣ a n1   an 2        K a nn ⎦

 Теорема доказана.


 Т.к. характеристический многочлен | A − λE | треугольной матрицы
          n
равен   ∏ (a
         i =1
                ii   − λ ) , то диагональные элементы aii этой матрицы сов-

падают с корнями характеристического многочлена.
 Обозначим через χ A ( λ ) характеристический многочлен матрицы
A , а через χ ϕ (λ ) характеристический многочлен оператора ϕ .

Страницы