Линейные операторы. Корешков Н.А. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Теорема 6.2. (Гамильтона-Кэли) Линейный оператор
ϕ
(и соот-
ветствующая ему матрица) аннулирует свой характеристический
многочлен
)(
λ
χ
ϕ
, т.е. 0)(
=
ϕ
χ
ϕ
(соответственно,
0)( =A
A
χ
).
Доказательство. В силу теоремы 6.1 в пространстве
V
суще-
ствует базис
n
vv ,...,
1
, Vn
k
dim= , что
∑
+=
+=
n
ij
jjiiii
vavv
1
λϕ
, ni ,...,1= , где
ni
i
,...,1, =
λ
собственные значения оператора
ϕ
. Обозначим через
>=<
nii
vvV ,..., , ni ,...,1
=
линейную оболочку соответствующих 1+− in
вектора. Тогда
1
)(
+
⊆−
iii
VVE
λ
ϕ
, ni ,...,1
=
, где полагаем, 0
1
=
+n
V ,
E
-
тождественный оператор.
Т.к.
∏
=
−=
n
i
i
1
)()(
λλλχ
ϕ
, то
VEV
n
i
i
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
∏
=1
)()(
λϕϕχ
ϕ
⊂
−
−
=
11
))...(( VEE
n
λ
ϕ
λ
ϕ
⊆−
−
⊂
22
))...(( VEE
n
λ
ϕ
λ
ϕ
0)(...
=
−⊆
nn
VE
λ
ϕ
.
Т.е.
0)( =
ϕ
χ
ϕ
. Теорема доказана.
7. Факторпространства и фактороператоры
Для любого подпространства
U в пространстве
V
дополнительное
подпространство
W
такое, что
WUV
=
определяется неоднознач-
но. Но все они естественным образом изоморфны одному простран-
ству, которое однозначно определяется по
U
и
V
.
Множество
},{ UyyxUx
∈
+=+ называется смежным классом, век-
тор
x
- представителем этого смежного класса. Если
)'()(0 UxUxz +∩+∈≠ , то '' yxyxz
+
=
+
=
, Uyy
∈
', . Поэтому
Uxyyxx +∈−+= ''' , т.е. UxUx
+
⊂+ ' . Аналогично Uxyyxx +∈−
+
=
'' , т.е.
UxUx +⊂+' . Следовательно, UxUx
+
=
+
' . Итак, два смежных класса
либо не пересекаются, либо совпадают. При фиксированном
U
по-
 Теорема 6.2. (Гамильтона-Кэли) Линейный оператор ϕ (и соот-
ветствующая ему матрица) аннулирует свой характеристический
многочлен χ ϕ (λ ) , т.е. χ ϕ (ϕ ) = 0 (соответственно, χ A ( A) = 0 ).

 Доказательство. В силу теоремы 6.1 в пространстве V суще-
                                                                      n
ствует базис v1 ,..., vn , n = dim k V , что ϕvi = λi vi +          ∑a
                                                                    j =i +1
                                                                              ji   v j , i = 1,..., n , где


λi , i = 1,..., n собственные значения оператора ϕ . Обозначим через

Vi =< vi ,..., vn > , i = 1,..., n линейную оболочку соответствующих n − i + 1

вектора. Тогда (ϕ − λi E )Vi ⊆ Vi +1 , i = 1,..., n , где полагаем, Vn +1 = 0 , E -
тождественный оператор.
                      n
 Т.к. χ ϕ (λ ) = ∏ (λ − λi ) , то
                     i =1


             ⎛   n
                               ⎞
 χϕ (ϕ )V = ⎜⎜ ∏ (ϕ − λi E ) ⎟⎟V = (ϕ − λn E )...(ϕ − λ1 E )V1 ⊂ ⊂ (ϕ − λn E )...(ϕ − λ2 E )V2 ⊆
              ⎝ i =1           ⎠
... ⊆ (ϕ − λn E )Vn = 0 .

 Т.е. χ ϕ (ϕ ) = 0 . Теорема доказана.

 7. Факторпространства и фактороператоры


 Для любого подпространства U в пространстве V дополнительное
подпространство W такое, что V = U ⊕ W определяется неоднознач-
но. Но все они естественным образом изоморфны одному простран-
ству, которое однозначно определяется по U и V .
 Множество x + U = {x + y, y ∈ U } называется смежным классом, век-
тор      x       -        представителем      этого        смежного                     класса.         Если
0 ≠ z ∈ ( x + U ) ∩ ( x '+U ) ,    то      z = x + y = x '+ y ' ,             y, y ' ∈ U .        Поэтому
x = x '+ y '− y ∈ x'+U , т.е. x + U ⊂ x'+U . Аналогично x' = x + y − y '∈ x + U , т.е.

x'+U ⊂ x + U . Следовательно, x + U = x '+U . Итак, два смежных класса

либо не пересекаются, либо совпадают. При фиксированном U по-

Страницы