Линейные операторы. Корешков Н.А. - 41 стр.

ложим x = x + U . Каждый вектор v из V принадлежит ровно одному
смежному классу. Обозначим через V = V U множество всех классов

{v + U , v ∈ V } . На этом множестве можно ввести структуру векторного

пространства            следующим                образом:                 x+ y = x+ y      или
( x + U ) + ( y + U ) = ( x + y ) + U αx = αx или α ( x + U ) = αx + U , x, y ∈ V , α ∈ k .

 Проверим корректность этих определений. Пусть x + U = x '+U ,
y + U = y '+U . Тогда

                             ( x '+U ) + ( y '+U ) = ( x '+ y ' ) + U .

  Но x' = x + u ,     y ' = y + u~ , т.е.     ( x '+ y ' ) + U = x + y + u + u~ + U = x + y + U .

Аналогично: α ( x'+U ) = αx'+U = α ( x + u ) + U = αx + U .
 Выполнимость условий коммутативности и ассоциативности сло-
жения в V , а также ассоциативности и дистрибутивности умноже-
ния легко следует из соответствующих условий для представителей
в пространстве V . Нейтральным элементом в множестве V является
класс 0 + U = U , а противоположным для x + U будет − x + U . Таким
образом, все аксиомы векторного пространства в V выполнены. Это
пространство и принято называть факторпространством простран-
ства V по подпространству U .
 Пример. Пусть V = R 2 , U = R1 . Тогда каждый класс x + R1 есть со-
вокупность векторов, концы которых лежат на прямой параллель-
ной прямой U = R1 . Т.е.




 Если W = R1 некоторое дополнительное подпространство в R 2 , то
пересечение прямых x + U и W определяет вектор x w , который
можно взять в качестве представителя класса x + U .