Линейные операторы. Корешков Н.А. - 43 стр.

 Пусть ϕ ∈ End k V , U - инвариантное относительно оператора ϕ
подпространство в V . Определим фактороператор ϕ ∈ End k V / U по

формуле: ϕ (v + U ) = ϕv + U или ϕ (v ) = ϕ (v) . Если v ′ + U = v + U , то
ϕ (v ′ + U ) = ϕv ′ + U .   Но   v′ = v + u ,          значит         ϕv ′ = ϕv + ϕu .   Поэтому,
ϕ (v ′ + U ) = ϕv + ϕu + U = ϕv + U . Это доказывает корректность опреде-

ления фактороператора.
 Зафиксируем в подпространстве U некоторый базис e1 ,..., em и до-
полним его до базиса e1 ,..., em ,..., en всего пространства. Тогда
V = U ⊕ W , где U = e1 ,..., em , W = em +1 ,..., en . Так как W ≅ V / U , то

em +1 = em +1 + U ,..., en = en + U - базис факторпространства. Из определе-

ния фактороператора получаем:
                                                 n            n
                             ϕ e j = ϕ e j = ∑ aij ei =     ∑a e      ij i   .
                                                i =1       i = m +1


 Следовательно, матрица Aϕ этого линейного оператора в базисе

                                   ⎡A                  A3 ⎤
e1 ,..., en представляется в виде: ⎢ 1                       , где A1 - матрица ограниче-
                                   ⎣0                  A2 ⎥⎦

ния оператора ϕ на подпространство U , A2 - матрица факторопера-
тора ϕ , действующего в факторпространстве V /U . Используя вид
матрицы Aϕ , имеем: Aϕ − λE = A1 − λE1 A2 − λE 2 , где Ei - единичные

матрицы размеров m × m и (n − m ) × (n − m ) . Таким образом, характе-
ристический многочлен оператора ϕ равен произведению характе-
ристического многочлена ограничения этого оператора на подпро-
странство U и характеристического многочлена фактороператора.


 8. Корневое подпространство