Линейные операторы. Корешков Н.А. - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Определение 8.1. Множество векторов V
λ
= {v
∈
V,
()
0=− v
s
λϕ
для
некоторого s} называется корневым подпространством оператора
()
VEnd
k
∈
ϕ
, соответствующим характеристическому корню k∈
λ
.
(Здесь и ниже:
E
⋅
−=−
λ
ϕ
λ
ϕ
)
В том, что
λ
V – подпространство нас убеждает легкая проверка.
Если, например,
λ
Vvu ∈, , причем
(
)
0=− u
s
λϕ
,
()
0=− v
r
λϕ
,
),max( rst = , то
(
)( )
(
)
(
)
0=−+−=+− vuvu
ttt
λϕβλϕαβαλϕ
.
Откуда
λ
β
α
Vvu ∈+ при любых k
∈
,,
β
α
. Заметим, что 0≠
λ
V , так как
собственные векторы оператора
ϕ
, отвечающие собственному зна-
чению
k∈
λ
, принадлежат
λ
V . Если размерность пространства
равна
n
, то, как следует из определения
λ
V , характеристический
многочлен
λ
ϕ
V
f
|
ограничения
λ
ϕ
V
| оператора
ϕ
на подпространстве
λ
V равен
()
nVrx
k
r
≤=−
λ
λ
dim,
. Действительно, если 1dim =
λ
V , то
(){}
0,
1,
=
−
== vvVV
λ
ϕ
λλ
и характеристический многочлен )(
|
xf
V
λ
ϕ
ог-
раничения оператора
ϕ
на подпространство
λ
V равен
λ
−x . Пусть
для корневых пространств размерности меньшей чем
r
утвержде-
ние справедливо и рассмотрим корневое подпространство
rVV =
λλ
dim, . Так как подпространство собственных векторов
1,
λ
V ин-
вариантно относительно
ϕ
, то можно определить фактороператор
ϕ
на факторпространстве
1,
/
λ
VVV = . Тогда подпространство
1,
/
λλλ
VVV = в V совпадает с корневым подпространством оператора
ϕ
, отвечающим значению
λ
. Действительно, по определению
{}
(
)
{
}
0,,
1,
=−=∈+== vvVvVvvV
t
λϕ
λλλ
.
Поэтому
()
{
}
)(0|
ϕλϕ
λλ
VvVvV
t
==−∈⊂ . С другой стороны, из соот-
ношения
()
0=− v
t
λϕ
следует, что
(
)
1,
λ
λϕ
Vv
t
∈− , то есть 
 Определение 8.1. Множество векторов Vλ = {v ∈ V, (ϕ − λ )s v = 0 для

некоторого s} называется корневым подпространством оператора
ϕ ∈ End k (V ) , соответствующим характеристическому корню λ ∈ k .

(Здесь и ниже: ϕ − λ = ϕ − λ ⋅ E )
 В том, что Vλ – подпространство нас убеждает легкая проверка.

Если,      например,            u, v ∈ Vλ ,      причем           (ϕ − λ )s u = 0 ,        (ϕ − λ )r v = 0 ,
t = max(s, r ) , то (ϕ − λ ) (αu + βv ) = α (ϕ − λ ) u + β (ϕ − λ ) v = 0 .
                            t                             t                 t



 Откуда αu + βv ∈ Vλ при любых α , β ,∈ k . Заметим, что Vλ ≠ 0 , так как
собственные векторы оператора ϕ , отвечающие собственному зна-
чению λ ∈ k , принадлежат Vλ . Если размерность пространства V
равна n , то, как следует из определения Vλ , характеристический
многочлен f ϕ |   Vλ
                       ограничения ϕ |V оператора ϕ на подпространстве
                                                   λ



Vλ равен      (x − λ )r , r = dim k Vλ   ≤ n . Действительно, если dim Vλ = 1 , то

Vλ = Vλ ,1 = {v, (ϕ − λ )v = 0} и характеристический многочлен f ϕ |Vλ ( x) ог-

раничения оператора ϕ на подпространство Vλ равен x − λ . Пусть
для корневых пространств размерности меньшей чем r утвержде-
ние     справедливо             и    рассмотрим                 корневое        подпространство
Vλ , dim Vλ = r . Так как подпространство собственных векторов Vλ ,1 ин-

вариантно относительно ϕ , то можно определить фактороператор ϕ
на      факторпространстве                    V = V / Vλ ,1 .     Тогда         подпространство

Vλ = Vλ / Vλ ,1 в V совпадает с корневым подпространством оператора

ϕ , отвечающим значению λ . Действительно, по определению

                                                              {
                       Vλ = {v = v + Vλ ,1 , v ∈ Vλ } = v , (ϕ − λ ) v = 0 .
                                                                        t
                                                                                }
 Поэтому Vλ ⊂ {v ∈ V | (ϕ − λ )t v = 0} = Vλ (ϕ ) . С другой стороны, из соот-

ношения         (ϕ − λ )t v = 0       следует,           что       (ϕ − λ )t v ∈ Vλ ,1 ,      то     есть

Страницы