Линейные операторы. Корешков Н.А. - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

()
0
1
=−
+
v
t
λϕ
, и значит
(
)
λλ
ϕ
VV ⊂
. Так как
rVV =<
λλ
dimdim
, то, по
предположению индукции, характеристический многочлен
)(
|
xf
V
λ
ϕ
ограничения фактороператора
ϕ
на подпространство
()
ϕ
λλ
VV = ра-
вен
()
λ
λ
Vsx
s
dim, =− . Используя замечание из конца предыдущего
параграфа, имеем:
=)(
|
xf
V
λ
ϕ
)(
|
xf
V
λ
ϕ
f
φ|
λ
v
(x)=
()
(
)
1,1,
/dim,dim,
λλλ
λλ
VVsVqxx
sq
==−− =r-q. То есть
() ( )
r
xxf
V
λ
λ
ϕ
−=
|
. В частности,
(
)
{
}
.0, =−∈= vVvV
r
λϕ
λ
.
Из доказанного результата следует, что V
λ
={v
∈
V, (φ-λ)
n
(v)=0},
n=dimV. Действительно, {v
∈
V, (φ-λ)
r
(v)=0, r=dimV
λ
} ⊂ {v∈ V, (φ-λ)
n
(v)=0, n=dimV}
λ
V⊆ .
Теорема 8.1. Пусть
(
)
nVVEnd
CC
=
∈
dim,
ϕ
и
() ( )
jixxf
ji
n
s
i
i
i
≠≠−=
∏
=
,,
1
λλλ
ϕ
- характеристический многочлен опе-
ратора
ϕ
. Тогда
s
VVV
λλ
⊕
⊕= ...
1
- прямая сумма корневых подпро-
странств
i
V
λ
, причем
iC
nV
i
=
λ
dim .
Доказательство. Ни один из множителей
(
)
i
x
−
не может
быть делителем одновременно всех многочленов
()
()
sixxf
j
n
ij
ji
,...,1, =−=
∏
≠
λ
, и поэтому
(
)
(
)
(
)
1,...,
1
=xfxfHOD
s
. Найдутся,
стало быть, многочлены
(
)
(
)
[
]
xCxhxh
s
∈
,...,
1
, для которых
() ()
∑
=
=
s
i
ii
xhxf
1
1 (8.1).
Подпространства
(
)
(
)
(
)
(
)
{
}
siVvvhfVhfW
iiiii
,...,1,,
=
∈
=
=
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
инвари-
антны относительно
ϕ
:
()()
== VhfW
iii
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
()()
(
)
(
)
iiiii
WVhfVhf
=
⊆
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
. Кроме того,
() ()()
0==− VhfWE
ii
n
i
i
ϕϕλϕ
ϕ
, так как по теореме Гамильтона-Кэли
()
0=Vf
ϕ
ϕ
. Поэтому 
  (ϕ − λ )t +1 v = 0 , и значит             Vλ (ϕ ) ⊂ Vλ . Так как dim Vλ < dim Vλ = r , то, по

предположению индукции, характеристический многочлен f ϕ | ( x)                                              Vλ



ограничения фактороператора ϕ на подпространство Vλ = Vλ (ϕ ) ра-

вен (x − λ )s , s = dim Vλ . Используя замечание из конца предыдущего
параграфа,                                          имеем:                                  f ϕ |Vλ ( x) = fϕ |V ( x)
                                                                                                              λ



fφ| vλ (x)= (x − λ )q (x − λ )s , q = dim Vλ ,1 , s = dim Vλ / Vλ ,1 =r-q.                   То              есть

    λ
                        r
                                                            {
 f ϕ |V ( x ) = ( x − λ ) . В частности, Vλ = v ∈ V , (ϕ − λ ) v = 0 . .
                                                                               r
                                                                                      }
 Из доказанного результата следует, что Vλ={v ∈ V, (φ-λ)n (v)=0},
n=dimV. Действительно, {v ∈ V, (φ-λ)r (v)=0, r=dimVλ} ⊂ {v ∈ V, (φ-λ)n
(v)=0, n=dimV} ⊆ Vλ .
 Теорема                         8.1.         Пусть                      ϕ ∈ End C (V ), dim C V = n               и
           s                ni

 f ϕ ( x ) = ∏ (x − λi ) , λi ≠ λ j , i ≠ j - характеристический многочлен опе-
          i =1


ратора ϕ . Тогда V = Vλ ⊕ ... ⊕ Vλ - прямая сумма корневых подпро-
                                        1             s



странств Vλ , причем dim C Vλ = ni .
                    i                           i



 Доказательство. Ни один из множителей (x − λi ) не может
быть               делителем                 одновременно                          всех       многочленов
 f i ( x ) = ∏ (x − λ j ) j , i = 1,..., s , и поэтому HOD ( f1 ( x ),..., f s ( x )) = 1 . Найдутся,
                            n

          j ≠i


стало быть, многочлены h1 (x ),..., hs (x ) ∈ C [x] , для которых
                                                           s

                                                      ∑ f (x )h (x ) = 1
                                                          i =1
                                                                 i   i                                      (8.1).

 Подпространства Wi = f i (ϕ )hi (ϕ )V = { f i (ϕ )hi (ϕ )v, v ∈ V }, i = 1,..., s инвари-
антны                                               относительно                                                  ϕ:

ϕWi = ϕf i (ϕ )hi (ϕ )V = f i (ϕ )hi (ϕ )ϕV ⊆ f i (ϕ )hi (ϕ )V = Wi .                     Кроме             того,

(ϕ − λi E )n Wii
                    = f ϕ (ϕ )hi (ϕ )V = 0 , так как по теореме Гамильтона-Кэли

 f ϕ (ϕ )V = 0 . Поэтому

Страницы