Линейные операторы. Корешков Н.А. - 47 стр.

                                        s   ni′

Поэтому f ϕ (x ) = f A (x ) = ∏ (x − λi ) . С другой стороны, по условию
                        ϕ
                                    i =1


         s         ni

f ϕ ( x ) = ∏ ( x − λi ) . Следовательно,         ni′ = ni , i = 1,..., s .
        i =1


 Итак, мы доказали, что пространство V есть прямая сумма корне-
вых подпространств Vλ оператора ϕ и размерность каждого корне-
                                i



вого подпространства Vλ равна кратности характеристического
                                    i



корня λi .


 9. Жорданова нормальная форма


 Определение 9.1. Матрица, имеющая вид:
                                                  ⎡λi 0 0                     L   00⎤
                                                  ⎢1 λ 0                           0⎥
                 ⎡ A1                ⎤            ⎢    i                      L   0
                                                                                     ⎥
                 ⎢      A2      0    ⎥            ⎢ 0 1 λi                    L 0 0⎥
               A=⎢                   ⎥ , где Ai = ⎢                                  ⎥
                 ⎢          0   O    ⎥            ⎢   L L                     L L    ⎥
                 ⎢                   ⎥            ⎢0 0 0
                 ⎣                As ⎦                                        L λi 0 ⎥
                                                  ⎢                                  ⎥
                                                  ⎣0 0 0                      L 1 λi ⎦

 или Ai = [λi ] , называется жордановой.
 Если A = Aϕ - матрица некоторого линейного оператора ϕ , то базис

в котором его матрица Aϕ имеет вышеприведенный вид, называется

жордановым базисом.
 Теорема 9.1. Пусть ϕ ∈ End k (V ) , и все его характеристические
корни λ1 ,..., λs принадлежат полю                k   . Тогда в пространстве V суще-
ствует жорданов базис оператора ϕ , т.е. базис, в котором его
матрица Aϕ - жорданова.

 Доказательство. Теорема 8.1. позволяет свести ситуацию к
рассмотрению оператора с единственным собственным значением,
то есть к корневому пространству. Заменяя оператор ϕ на ϕ − λi E ,