Линейные операторы. Корешков Н.А. - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

i
VW
i
λ
⊂ (8.2)
Подставляя в соотношении (8.1) вместо переменной
x
оператор
ϕ
,
получим:
()()
∑
=
=
s
i
ii
hfE
1
ϕϕ
.
Тогда
()()
∑∑
==
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
s
i
i
s
i
ii
WVhfV
11
ϕϕ
. Ввиду включения (8.2) имеем:
∑
=
=
s
i
i
VV
1
λ
.
Обозначим через
∑
≠
=
ji
i
j
VV
λ
. Если
i
VVv
i
∩
∈
λ
, то
(
)
0=− vE
n
i
λϕ
. А так
как
,
∑
≠
=
ji
j
vv
j
Vv
j
λ
∈
и
()
0=−
j
n
j
vE
λϕ
, то и
()
0=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
∏
≠
vE
ji
n
j
λϕ
.
Из взаимной простоты многочленов
(
)
n
i
x
λ
− и
(
)
()
∏
≠
−=
ji
n
j
xxc
λ
сле-
дует существование многочленов
(
)
xa
и
(
)
xb
, для которых
()( ) ()()
1=+− xcxbxxa
n
i
λ
.
Используя это соотношение, имеем:
()( ) ()
(
)
0=−+−=
∏
≠
vEbvEav
n
ji
j
n
i
λϕϕλϕϕ
, то есть пространства
i
V
λ
и
∑
≠
=
ij
i
j
VV
λ
не пересекаются. Значит,
s
VVV
λλ
⊕
⊕
=
...
1
.
В базисе, являющемся объединением базисов пространств
i
V
λ
, опе-
ратор
ϕ
имеет матрицу
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
s
A
A
A
A
0
0
2
1
O
ϕ
,
где
i
A - матрица порядка
i
Vn
i
λ
dim
=
′
с единственным собственным
значением
i
λ
и характеристическим многочленом
() ( )
i
i
n
iA
xxf
′
−=
λ
. 
                                                                           Wi ⊂ Vλi                                                 (8.2)

 Подставляя в соотношении (8.1) вместо переменной x оператор ϕ ,
получим:
                                                                s
                                                       E = ∑ f i (ϕ )hi (ϕ ) .
                                                               i =1


                         ⎛   s
                                           ⎞             s
 Тогда V = ⎜ ∑ f i (ϕ )hi (ϕ )⎟V = ∑ Wi . Ввиду включения                                                                 (8.2) имеем:
                         ⎝ i =1            ⎠            i =1

       s
V = ∑Vλi .
      i =1


 Обозначим через Vi = ∑Vλ . Если v ∈ Vλ ∩ Vi , то (ϕ − λi E )n v = 0 . А так
                                                   j                                 i
                                          i≠ j


                                                                                         ⎛                         ⎞
как v = ∑ v j , v j ∈ Vλ и (ϕ − λ j E )n v j = 0 , то и ⎜⎜ ∏ (ϕ − λ j E )n ⎟⎟v = 0 .
                                      j
              i≠ j                                                                       ⎝   i≠ j                  ⎠

 Из взаимной простоты многочленов (x − λi )n и c(x ) = ∏ (x − λ j )n сле-
                                                                                                                   i≠ j


дует существование многочленов                                                      a (x )          и   b( x ) ,       для которых
a ( x )( x − λi ) + b( x )c( x ) = 1 .
                     n



 Используя это соотношение, имеем:
  v = a (ϕ )(ϕ − λi E ) v + b(ϕ )∏ (ϕ − λ j E ) v = 0 , то есть пространства Vλi и
                                  n                                   n

                                          i≠ j


Vi = ∑ Vλ j не пересекаются. Значит, V = Vλ1 ⊕ ... ⊕ Vλs .
       j ≠i


 В базисе, являющемся объединением базисов пространств Vλ , опе-                                                                i



ратор ϕ имеет матрицу
                                                      ⎡ A1                           0⎤
                                                      ⎢                   A2            ⎥
                                                 Aϕ = ⎢                                 ⎥,
                                                      ⎢                            O    ⎥
                                                      ⎢                                 ⎥
                                                      ⎣0                             As ⎦

 где Ai - матрица порядка ni′ = dim Vλ с единственным собственным              i



значением λi и характеристическим многочленом f A (x ) = (x − λi )n′ .                                                 i
                                                                                                                                       i

Страницы