Линейные операторы. Корешков Н.А. - 48 стр.

получим, что достаточно рассмотреть корневое пространство, отве-
чающее нулевому собственному значению.
 Если жорданов базис e1 ,..., en уже построен, то действие оператора
ϕ (в силу определения 9.1) имеет вид:
             ϕe1 = e2      ϕeκ +1 = eκ + 2           K           ϕer +1 = er + 2
             ϕe 2 = e3     ϕe κ + 2 = e κ + 3        K           ϕe r + 2 = e r + 3
                 K                 K                 K                  K
             ϕeκ −1 = eκ   ϕeκ + s −1 = eκ + s       K           ϕer +t −1 = en
              ϕe κ = 0      ϕe κ + s = 0             K            ϕe n = 0

 То есть базис разбивается на несколько групп, в каждой из кото-
рых оператор ϕ переводит вектор ei кроме последнего в следующий
вектор ei +1 , а последний вектор каждой группы в нулевой. Изобра-
зим эту ситуацию следующей диаграммой:
                                   •     •
                                   ↓ ↓ L
                                   •     •       •
                                   ↓ ↓           ↓ L
                            D:     •     •       •           .
                                   M     M       M
                                   •     •       •       •
                                   ↓ ↓           ↓       ↓
                                   •     •       •       •


 Точки каждого столбика этой диаграммы обозначают вектора
em , ϕem ,..., ϕ κ m −1em , а стрелки показывают действие оператора ϕ на со-

ответствующих векторах. (Все вектора из нижнего этажа диаграммы
переводятся в нулевой вектор). Доказательство теоремы будем вес-
ти индукцией, по размерности пространства V.
 Если dim k V = 1 , то V = e1 , ϕe1 = αe1 . Но V - корневое пространство,

отвечающее нулевому собственному значению, то есть ϕ κ e1 = 0 , для
некоторого κ . Значит α = 0 и Aϕ = [0] , то есть e1 - жорданов базис.

 Пусть для любого корневого пространства размерности меньше n
утверждение справедливо. Рассмотрим пространство V, dim k V = n и
для любого v ∈ V , ϕ t v = 0 для некоторого t . Обозначим через V0 под-