Линейные операторы. Корешков Н.А. - 37 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

Раз это так, то мы можем определить линейную функцию f
*
ϕ
на
V
полагая
(
)
(
)
xfxf
def
ϕϕ
,,
*
= . (5.1)
Соответствие
ff
**
:
ϕϕ
при переменной
f
определяет линейное
отображение
**
VV
:
=+=+ ))(,()),((
*
xgfxgf
ϕβαβαϕ
=+=+= ),(),())(,())(,(
**
xgxfxgxf
ϕβϕαϕβϕα
),(
**
xgf
βϕαϕ
+=
т.е.
)()()(
***
gfgf
βϕαϕβαϕ
+=+ . Так что )(
**
VEnd
k
ϕ
.
Определение 5.1. Линейный оператор
*
ϕ
на
*
V , заданный соот-
ношеним (5.1), называют оператором, сопряженным к
)(VEnd
k
ϕ
.
Непосредственно из определения, легко вывести следующие
свойства отображения
*
:
ϕϕ
: 00
*
= , 11
*
=
,
**
)(
αϕαϕ
= ,
***
)(
ψϕψϕ
+=+ ,
***
)(
ϕψϕψ
= , kVEnd
k
α
ψ
ϕ
),(, .
Например, последнее соотношение доказывается так:
),(),()(,())(,(),)((
****
xfxfxfxfxf
ϕψψϕψϕϕψϕψ
==== .
Чтобы задать оператор
*
ϕ
в матричном виде, естественно выбрать
в
V
и
*
V двойственные базисы }{
i
e , }{
i
λ
. Если
=
=
n
k
kkjj
eae
1
ϕ
, то
∑∑
==
===
n
k
ij
n
k
ikkjkikjji
aaeae
11
)(),(
δλϕλ
.
Положив далее
=
=
n
k
kkii
a
1
λλϕ
, будем иметь
=
==
n
k
jijkkiji
aeae
1
),(),(
λλϕ
. Т.к. в соответствии с (5.1)
ijjiji
aee == ),(),(
*
ϕλλϕ
, то
ijji
aa =
. Следовательно, верна
Теорема 5.2. Если в базисе
}{
i
e пространства V линейный опера-
тор
ϕ
имеет матрицу )(
ij
aAA
=
=
ϕ
, то в дуальном базисе }{
i
λ
про-
 Раз это так, то мы можем определить линейную функцию ϕ * f на
V полагая

                                                          (ϕ   *
                                                                   f , x ) = ( f , ϕx ) .
                                                                             def
                                                                                                                   (5.1)

  Соответствие ϕ * : f → ϕ * f при переменной f определяет линейное
отображение V * → V * :
                                     (ϕ * (αf + βg ), x) = (αf + β g , ϕ ( x)) =

          = α ( f , ϕ ( x)) + β ( g , ϕ ( x)) = α (ϕ * f , x) + β (ϕ * g , x) = = (αϕ * f + βϕ * g , x)

 т.е. ϕ * (αf + βg ) = αϕ * ( f ) + βϕ * ( g ) . Так что ϕ * ∈ End k (V * ) .
 Определение 5.1. Линейный оператор ϕ * на V * , заданный соот-
ношеним (5.1), называют оператором, сопряженным к ϕ ∈ End k (V ) .
 Непосредственно из определения, легко вывести следующие
свойства               отображения                ∗:ϕ → ϕ* :                       0* = 0 ,    1* = 1 ,   (αϕ ) * = αϕ * ,

(ϕ + ψ )* = ϕ * + ψ * , (ϕψ )* = ψ *ϕ * , ϕ ,ψ ∈ End k (V ), α ∈ k .

 Например,                  последнее                    соотношение                          доказывается          так:
((ϕψ )* f , x ) = ( f , (ϕψ ) x ) = ( f , ϕ (ψx ) = (ϕ * f ,ψx ) = (ψ *ϕ * f , x ) .

 Чтобы задать оператор ϕ * в матричном виде, естественно выбрать
                                                                                                   n
в V и V * двойственные базисы {ei } , {λi } . Если ϕe j = ∑ a kj ek , то
                                                                                                  k =1

                                                   n                               n
                                 (λi , ϕe j ) = ∑ a kj (λi ek ) = ∑ a kj δ ik = aij .
                                                  k =1                        k =1

                                                                     n
 Положив                      далее                    ϕ ∗ λi = ∑ a ki∗ λk ,                    будем            иметь
                                                                    k =1

                   n
(ϕ ∗ λi , e j ) = ∑ a ki∗ (λk , e j ) = a ∗ji .        Т.к.              в             соответствии         с      (5.1)
                  k =1


(ϕ * λi , e j ) = (λi , ϕe j ) = aij , то a ∗ji = aij . Следовательно, верна

 Теорема 5.2. Если в базисе {ei } пространства V линейный опера-
тор ϕ имеет матрицу Aϕ = A = (aij ) , то в дуальном базисе {λi } про-