Линейные операторы. Корешков Н.А. - 33 стр.

 Обратно, пусть λ0 - характеристический корень оператора ϕ , то

есть      Aϕ − λ0 E = 0 . Тогда система (1) имеет ненулевое решение
    n
v = ∑ xi ei ≠ 0 . Переходя к матричной форме, получим Aϕ v = λ0 v .
   i =1


 Если e'1 ,..., e' n другой базис пространства V , а T - матрица перехода
от первого базиса ко второму, то матрица Aϕ' линейного оператора

ϕ в новом базисе, как было отмечено ранее, выражается через Aϕ

формулой:                          Aϕ' = T −1 Aϕ T .                   Тогда

Aϕ' − λE = T −1 Aϕ T − T −1λET = T −1 Aϕ − λE T = Aϕ − λE , то есть характери-

стические многочлены подобных матриц совпадают и приведенное
выше определение характеристического многочлена линейного опе-
ратора корректно. Приведенные рассуждения доказывают следую-
щее утверждение:


 Предложение 4.1. Пусть φ ∈ End k (V ) . Тогда корни характеристи-
ческого многочлена оператора φ , принадлежащие полю k , и только
они являются собственными значениями этого оператора.
 Заметим, что существование собственного вектора существенно
зависит от основного поля k . Например, если k = R - поле действи-
тельных чисел, а ϕ - оператор поворота векторов из R 2 на угол
α (α ≠ 0) , то в этом случае собственных векторов у ϕ нет. Напротив,

если k = C - поле комплексных чисел, то характеристический мно-
гочлен в этом случае обязательно имеет корень, принадлежащий C .
Поэтому система (1) имеет хотя бы одно ненулевое решение, то есть
оператор ϕ имеет собственный вектор.
 Рассмотрим одно достаточное условие, при выполнении которого
матрица линейного оператора имеет диагональный вид.