Линейные операторы. Корешков Н.А. - 29 стр.

   (ϕ + ψ )( x) = ϕ ( x) + ψ ( x) , (ϕψ )( x) = ϕ (ψ ( x)) , (αϕ )( x ) = α (ϕ ( x )) , где x ∈ V .

 Легко проверить, что относительно сложения и умножения на ска-
ляр множество End(V) удовлетворяет всем аксиомам векторного
пространства, а операция умножения отображений ассоциативна
(ϕψ ) χ = ϕ (ψχ ) и связана с операциями сложения законами дистрибу-

тивности ϕ (ψ + χ ) = ϕψ + ϕχ , (ψ + ϕ ) χ = ψχ + ϕχ и (λϕ )ψ = λ (ϕψ ) = ϕ (λψ )
λ ∈ k . Перечисленные факты означают, что End(V) является ассо-
циативной алгеброй над полем k или k-алгеброй.
 Для того чтобы описать отождествление алгебр End(V) и Mn(k),
введем понятие изоморфизма алгебр.
 Определение 3.1. Говорят, что k-алгебры A и B изоморфны, если
существует биекция ϕ алгебры A на алгебру B такая, что для
∀a1 , a 2 ∈ A , ∀α 1 ,α 2 ∈ k

           ϕ (α1a1 + α 2 a 2 ) = α1ϕ ( a1 ) + α 2ϕ ( a 2 ) , ϕ ( a1a 2 ) = ϕ ( a1 )ϕ ( a 2 ) . (1).

 Теорема 3.1. Пусть V =< e1 ,..., en > - линейное пространство над по-
лем k с фиксированным базисом. Тогда отображение ϕ → Aϕ задает
изоморфизм k-алгебр End(V) и Mn(k).
 Доказательство. В силу теоремы 2.1. отображение ϕ → Aϕ яв-

ляется биекцией k-алгебр End(V) и Mn(k). Для проверки соотноше-
ний (1) заметим, что n-мерное пространство V изоморфно простран-
ству строк (или столбцов) длины n . Поэтому, отождествляя вектора
                  ⎛ x1 ⎞
     n            ⎜ ⎟
x = ∑ xi ei и x = ⎜ M ⎟ , можем записать, что ϕ ( x ) = Aϕ x , где
    i =1          ⎜x ⎟
                  ⎝ n⎠

                                ⎛   n
                                           ⎞     n     n             n
                                                                           ⎛   n
                                                                                    ⎞
                    ϕ ( x) = ϕ ⎜ ∑ xi ei ⎟ = ∑ xi ∑ a ji e j =∑ ⎜ ∑ a ji xi ⎟e j ,
                                ⎝ i =1     ⎠    i =1   j =1         j =1   ⎝ i =1   ⎠