Задачи ламинарных течений вязкой несжимаемой жидкости: точные и приближенные аналитические решения. Коржов Е.Н. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

21
кса , описывающие ламинарное течение вязкой несжимаемой жидкости, в ци-
линдрической системе координат имеют следующий вид [1, 2]:
r
r
r
r
z
rr
r
r
f
v
rr
v
v
r
p
r
v
z
v
v
v
r
v
r
v
v
t
v
+
θ∂
∂
−−∇ν+
∂
∂
ρ
−=−
∂
∂
+
θ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
θθθ
22
2
2
21
; (1)
θ
θ
θ
θθθθθθ
+
−
θ∂
∂
+∇ν+
θ∂
∂
ρ
−=+
∂
∂
+
θ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
f
r
vv
r
v
p
rr
vv
z
v
v
v
r
v
r
v
v
t
v
rr
zr
2
2
21
; (2)
zz
z
z
zz
r
z
fv
z
p
z
v
v
v
r
v
r
v
v
t
v
+∇ν+
∂
∂
ρ
−=
∂
∂
+
θ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
θ
2
1
; (3)
0
1
=
∂
∂
+
θ∂
∂
++
∂
∂
θ
z
vv
rr
v
r
v
zrr
; (4)
где ρ - заданная плотность , ν = µ /ρ - кинематический коэффициент вязкости,
µ - коэффициент вязкости, называемый «динамическим» ; p - давление;
r
v ,
θ
v
,
z
v - компоненты вектора скорости;
2
∇ - оператор Лапласа , имеющий в цилин-
дрической системе координат следующий вид:
2
2
2
2
22
2
2
11
zr
rr
r ∂
∂
+
θ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇ (5)
Упрощение исходных уравнений (1)-(4) производится с учётом сформу-
лированных ранее гипотез , определяющих качественную или концептуальную
модель реального течения. В силу стационарности и осесимметричности тече-
ния все частные производные по времени и координате θ равны нулю , то есть
0
=
∂
∂
t/v
i
и 0
=
θ
∂
∂
/v
i
для i = r,θ,z и 0
=
θ
∂
∂
/p . Поскольку массовые силы не учи-
тываются, то все f
i
в уравнениях (1)-(4) надо положить равными нулю .
Далее, так как вектор скорости v параллелен оси z, то он имеет лишь одну
компоненту, отличную от нуля, то есть v=(0,0,
z
v ) или 0
≡
≡
θ
vv
r
. В этом случае
из уравнения неразрывности (4) непосредственно следует , что
0=
∂
∂
z
v
z
⇒
)r(vv
z
=
,
то есть неизвестная величина
z
v не зависит от переменной z и является лишь
функцией пространственной координаты r, то есть компонента скорости
)r(vv
z
=
.
Кроме того, из уравнений (1) и (2) получаем
0=
∂
∂
r
p
)z(pp
=
⇒
.
С учётом всего вышеизложенного уравнение (3) упрощается и может быть за -
писано через обыкновенные производные вместо частных 
                                           21
кса, описывающие ламинарное течение вязкой несжимаемой жидкости, в ци-
линдрической системе координат имеют следующий вид [1, 2]:

            ∂ vr     ∂v  v ∂v     ∂v  v2   1 ∂p     �         v     2 ∂v �
                 +v r r + θ r +v z r − θ =−     +ν�� ∇ 2 v r − r2 − 2 θ �� + f r ;   (1)
             ∂t      ∂r   r ∂θ    ∂z   r   ρ ∂r       �       r    r ∂θ �

            ∂ vθ    ∂v  v ∂v     ∂v  vv      1 ∂p     �         2 ∂v v �
                 +vr θ + θ θ +v z θ + r θ =−      +ν�� ∇ 2 vθ + 2 r − θ �� + f θ ;(2)
             ∂t     ∂r   r ∂θ    ∂z    r    ρr ∂θ �            r ∂θ r �

                         ∂v z    ∂v  v ∂v     ∂v   1 ∂p
                              +vr z + θ z +v z z =−     +ν∇ 2 v z + f z ;            (3)
                          ∂t     ∂r   r ∂θ    ∂z   ρ ∂z

                                ∂ vr v r 1 ∂ vθ ∂ v z
                                    + +        +      =0 ;                           (4)
                                ∂r    r r ∂θ ∂ z

где ρ - заданная плотность, ν = µ /ρ - кинематический коэффициент вязкости,
µ - коэффициент вязкости, называемый «динамическим»; p - давление; vr , vθ ,
v z - компоненты вектора скорости; ∇ 2 - оператор Лапласа, имеющий в цилин-
дрической системе координат следующий вид:
                                   ∂2 1 ∂    1 ∂2   ∂2
                               ∇2 = 2 +    + 2    +                                  (5)
                                   ∂r  r ∂r r ∂θ2 ∂ z 2

        Упрощение исходных уравнений (1)-(4) производится с учётом сформу-
лированных ранее гипотез, определяющих качественную или концептуальную
модель реального течения. В силу стационарности и осесимметричности тече-
ния все частные производные по времени и координате θ равны нулю, то есть
∂v i / ∂t =0 и ∂v i / ∂θ =0 для i = r,θ,z и ∂p / ∂θ =0 . Поскольку массовые силы не учи-
тываются, то все fi в уравнениях (1)-(4) надо положить равными нулю.
     Далее, так как вектор скорости v параллелен оси z, то он имеет лишь одну
компоненту, отличную от нуля, то есть v=(0,0, v z ) или v r ≡vθ ≡0 . В этом случае
из уравнения неразрывности (4) непосредственно следует, что

                                  ∂v z
                                       =0 ⇒ v z =v( r ) ,
                                  ∂z

то есть неизвестная величина v z не зависит от переменной z и является лишь
функцией пространственной координаты r, то есть компонента скорости
v z =v( r ) .
      Кроме того, из уравнений (1) и (2) получаем
                                   ∂p
                                      =0 ⇒ p = p( z ) .
                                   ∂r

С учётом всего вышеизложенного уравнение (3) упрощается и может быть за-
писано через обыкновенные производные вместо частных

Страницы