Задачи ламинарных течений вязкой несжимаемой жидкости: точные и приближенные аналитические решения. Коржов Е.Н. - 23 стр.

                                                      23
ляются интервалом, на котором происходит их изменение – для радиальной
координаты – радиус трубы r0 , для осевой – длиной трубы l 0 , в которой из-
вестно падение давления ∆p0 = p 0 − p1 .Поэтому приведение этих переменных к
безразмерному виду можно выполнить следующим образом:
                                       r                   z                             p −p1
                                    ξ=     ,            ζ=         ,            P=                 .                    (11)
                                      r0                  l0                            p 0 − p1

Для скорости мы не можем указать характерную величину, используя исход-
ные данные задачи. В этом случае в качестве нормирующей величины можно
выбрать такую комбинацию известных данных, чтобы она совпадала по раз-
мерности с размерностью скорости. Обозначим эту неизвестную величину че-
рез v∗ и выполним приведение к безразмерному виду уравнения (6).
                                   v∗ �� d 2V 1 d V ��      p − p1 d P
                                     2 �
                                              +            = 0         .
                                   r0 � d ξ 2   ξ d ξ  �      µl 0 dζ
                                                         �

Тогда на основании равенства порядков величин, характеризующих баланс
внешнего перепада давления и сил внутреннего трения, можно заключить, что
в качестве характерной величины для скорости v∗ может быть выбран ком-
        ∆p0 r02
плекс             . То есть безразмерная скорость может быть введена по правилу
         l0µ

                                                      v
                                               V=              .                                                        (12)
                                                    ∆p 0 r02
                                                     l0µ

В новых безразмерных переменных совокупность двух полученных краевых
задач перепишется в следующем виде:

                                                                                                       d2P
    - для функции          P( ζ ) получаем         простейшее уравнение -                                     =0 ,   которое
                                                                                                       d ζ2
должно быть проинтегрировано с учетом граничных условий

                                  ζ =0 :       P( 0 ) =1 ,             ζ =1 : P( 1 ) =0 ;                               (13)

                                                                           d 2V         1 dV d P
    - для функции        V( ξ)   уравнение имеет вид                                +       =    ,        а граничные
                                                                           dξ   2       ξ dξ d ζ
                                                   dV
условия для него                       ξ =0 :         =0 ,                ξ =1 : V ( 1 ) =0 .                           (14)
                                                   dξ

Отметим, что в правой части уравнения (14) стоит константа, которая опреде-
ляется из предшествующего интегрирования краевой задачи (13). Другой осо-
бенностью полученного решения является отсутствие безразмерных числовых
параметров в уравнениях и краевых условиях. В случае, когда такие парамет-
ры содержатся в построенной модели, необходимо рассмотреть все возмож-
ные предельные случаи с целью последующего отыскания возможных асим-
птотических решений задачи.