Задачи ламинарных течений вязкой несжимаемой жидкости: точные и приближенные аналитические решения. Коржов Е.Н. - 24 стр.

                                                     24

     13.6. Нахождение решения двухточечных краевых задач
     Прямое двукратное интегрирование уравнения (13) даёт выражение
                                       P( ζ ) =C1ζ +C 2 ,

подстановка которого в граничные условия (13) приводит с нахождению кон-
стант интегрирования - C1 =−1 , C 2 =1 . Окончательное выражение для распреде-
ления безразмерного давления имеет вид
                                       P( ζ ) =1 −ζ .                                      (15)
     С учетом найденного решения (15) уравнение (14) примет вид
                                      d 2V           1 dV
                                                 +        =−1 .
                                      dξ     2       ξ dξ

Левая часть последнего уравнения может быть представлена в ином виде, а
само уравнение запишется следующим образом:
                     1 d � dV �                              d � dV �
                             � ξ     � =−1           или           � ξ     � =−ξ .
                     ξ d ξ �� d ξ ��                         d ξ �� d ξ ��

Проинтегрировав последнее уравнение один раз, получим
                        dV   1                               dV   1   C
                    ξ      =− ξ2 +C3                 или        =− ξ + 3         .
                        dξ   2                               dξ   2   ξ

Ещё раз выполним интегрирование полученного уравнения и найдём выраже-
ние для V
                                          1
                                V ( ξ ) =− ξ2 +C3 ln ξ +C 4 .                              (16)
                                          4

Определим константы интегрирования. Так как функция V ( ξ ) должна быть
ограничена, а её производная должна быть равна нулю при ξ =0 , то необходи-
мо положить константу C 3 =0 . Константа C 4 определяется из второго гранич-
                                                             1
ного условия (14) и имеет значение, равное                     .   Таким образом, окончательное
                                                             4
выражение для безразмерной скорости потока в трубе запишется следующим
образом:
                             V ( ξ ) = (1 −ξ2 ).
                                      1
                                                                   (17)
                                                      4

                     13.7. Анализ полученного решения
     Прежде всего требуется убедиться, что полученные выражения (15) и (17)
являются решением краевой задачи. После их подстановки в уравнения (13) и
(14) последние тождественно удовлетворяются. Затем убеждаемся, что выпол-
няются и граничные условия.
    Теперь требуется проанализировать поведение полученных решений
только лишь как функций соответствующих аргументов. Если бы в выражения