Задачи ламинарных течений вязкой несжимаемой жидкости: точные и приближенные аналитические решения. Коржов Е.Н. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

26
∫∫
θ⋅=
π 2
00
0
r
ddrr)r(vQ
Так как подинтегральная функция не зависит от переменной θ, то выражение
для определения расхода можно записать в виде одномерного интеграла
∫
π=
0
0
2
r
dr)r(rvQ . (19)
После подстановки выражения для скорости из (18) в выражение (19) и интег -
рирования находим
−
µ
π
=
zd
pdr
Q
8
4
0
или
0
4
00
8 l
rp
Q
µ
∆π
=
. (20)
Полученное соотношение (20.2) выражает известный классический результат
механики жидкости – закон Гагена – Пуазейля [1]:
При установившемся ламинарном движении вязкой несжимаемой
жидкости в цилиндрической трубе кругового сечения секундный объ-
емный расход жидкости пропорционально перепаду давления на еди -
ницу трубы и четвертой степени её радиуса (или диаметра).
Выражение (20.2) может быть представлено также в другом виде
Q
r
l
p
4
0
0
0
8
π
µ
=∆
, (21)
соответствующем закону сопротивления, который формулируется следующим
образом:
При установившемся ламинарном движении вязкой несжимаемой
жидкости падение давления в цилиндрической трубе кругового сече -
ния пропорционально секундному объемному расходу , вязкости жид-
кости и длине трубы , а также обратно пропорционально четвертой
степени её радиуса (диаметра).
Выражение (21) может быть преобразовано к традиционному виду, если
ввести в него величину, определяемую как средняя скорость течения – отно -
шение объемного расхода к площади поперечного сечения,
0
2
00
8 l
rp
S
Q
v
µ
∆
=≡ . (22)
Поскольку в гидравлике принято записывать закон сопротивления в виде
2
2
0
v
p
ρ
ς=∆
,
то сопоставление полученного выражения с (21) позволяет получить выраже-
ние для коэффициента гидравлического сопротивления
0
0
64
d
l
Re
=ς
, (23) 
                                                 26
                                         2π r0
                               Q = ∫ ∫v( r ) ⋅ r dr dθ
                                         0 0

Так как подинтегральная функция не зависит от переменной θ, то выражение
для определения расхода можно записать в виде одномерного интеграла
                                                 r0
                                 Q =2π ∫rv( r )dr .                       (19)
                                                 0

После подстановки выражения для скорости из (18) в выражение (19) и интег-
рирования находим
                              πr04   �      dp�             π∆p 0 r04
                         Q=          �� −        �� или Q =           .   (20)
                              8µ     �      dz �             8µl 0

Полученное соотношение (20.2) выражает известный классический результат
механики жидкости – закон Гагена – Пуазейля [1]:
    При установившемся ламинарном движении вязкой несжимаемой
    жидкости в цилиндрической трубе кругового сечения секундный объ-
    емный расход жидкости пропорционально перепаду давления на еди-
    ницу трубы и четвертой степени её радиуса (или диаметра).
    Выражение (20.2) может быть представлено также в другом виде
                                       8µl
                                 ∆p 0 = 40 Q ,                            (21)
                                       πr0

соответствующем закону сопротивления, который формулируется следующим
образом:
    При установившемся ламинарном движении вязкой несжимаемой
    жидкости падение давления в цилиндрической трубе кругового сече-
    ния пропорционально секундному объемному расходу, вязкости жид-
    кости и длине трубы, а также обратно пропорционально четвертой
    степени её радиуса (диаметра).
     Выражение (21) может быть преобразовано к традиционному виду, если
ввести в него величину, определяемую как средняя скорость течения – отно-
шение объемного расхода к площади поперечного сечения,
                                                           2
                                 Q ∆p r
                               v≡ = 0 0                        .          (22)
                                 S  8µl 0

    Поскольку в гидравлике принято записывать закон сопротивления в виде
                                                      ρv 2
                                 ∆p 0 =ς                   ,
                                                       2
то сопоставление полученного выражения с (21) позволяет получить выраже-
ние для коэффициента гидравлического сопротивления
                                          64 l 0
                                 ς=                    ,                  (23)
                                          Re d 0

Страницы