Задачи ламинарных течений вязкой несжимаемой жидкости: точные и приближенные аналитические решения. Коржов Е.Н. - 28 стр.

                                                     28
    Распределение напряжений и другие динамические характеристики дви-
жения жидкости определяются компонентами тензора напряжений. В случае
модели вязкой несжимаемой ньютоновской жидкости для цилиндрической
системы координат они имеют вид [1:8.64,с.411]
                          ∂v r                     � 1 ∂ vθ vr �                                  ∂v z
           p rr =−p +2µ          ,   p θθ =−p +2µ��        + ��          ,        p zz =−p +2µ           ,            (28)
                          ∂r                        � r ∂θ   r �                                  ∂z

                 � 1 ∂v r ∂vθ vθ �                          � ∂v r ∂v z �                               � ∂v θ ∂v z �
  p rθ =p θr =µ��        +    − ��   ,      p rz = p zr =µ��      +       � ,            p θz =p zθ =µ��      +       �   .
                  � r ∂θ   ∂r  r �                           � ∂z   ∂r ��                                � ∂z   ∂θ ��

    Для рассматриваемой задачи подстановка решения (17) в формулы (28) с
учётом того, что лишь осевая компонента скорости отлична от нуля, приводит
к выражениям
                                                  1� dp�
           p rr = p θθ = p zz =−p , p rz = p zr =− �� −      � r,                 p rθ = p θr = p θz = p z θ =0 .     (29)
                                                  2 � d z ��

Эпюры сдвиговых компонент тензора напряжений представлены на рис. 3(б).
    Следовательно, сдвиговые напряжения в жидкости пропорциональны
градиенту давления и расстоянию от оси трубы. Эпюра сдвиговых напряже-
ний представлена на рис.3. Максимальное значение напряжения имеют на
стенках трубы. Величина интенсивность сил трения, действующих на внут-
ренней поверхности трубы, определяется касательным напряжением на стенке
                                                                    ∆p 0 r0
                                           τw ≡−p rz    r =r0
                                                                =             .                                       (30)
                                                                     2l0

     Если воспользоваться выражением для средней скорости потока в трубе
(22), то можно получить еще одно полезное соотношение, связывающее вели-
чину интенсивности сил трения со средней скоростью
                                                     µv
                                             τw =4        .                                                           (31)
                                                     r0

То есть интенсивность сил трения определяется линейной зависимостью от
скорости потока и вязкости среды и обратно пропорциональна радиусу трубы.
    Расчет числа Рейнольдса для оценки возможности ламинарного режима
течения удобно проводить с использованием следующей формулы:
                                                   ∆p ρr 3
                                               Re = 02 0        .
                                                    4µ l 0

    Коэффициент трения для круглой цилиндрической трубы рассчитывается
как отношение интенсивности сил трения на стенке к гидродинамическому
напору [12]
                                                      τw  16
                                             cf ≡        = .                                                          (32)
                                                    1 2 Re
                                                      ρv
                                                    2