Задачи ламинарных течений вязкой несжимаемой жидкости: точные и приближенные аналитические решения. Коржов Е.Н. - 22 стр.

                                                22

                                         d 2v1 d v 1 dp
                                            +      =     .                                  (6)
                                         dr 2
                                              r d r µ dz

В обыкновенное дифференциальное уравнение (6) входит две неизвестные
функции - v =v( r ) и p = p( z ) , зависящие от разных переменных. Следовательно,
левая и правая части уравнения (6) должны быть равны некоторой константе,
которая определяется с учетом дополнительных условий относительно неиз-
вестной функции p=p(z). Действительно, если
                                dp                        d2 p
                                   =C1            или          =0 ,                         (7)
                                dz                        d z2

то после его интегрирования находим, что p( z ) =C1 z +C 2 и для нахождения
функции p = p( z ) достаточно задать два граничных условия, например,
                       z =0 :    p( 0 ) = p 0 ;                   z =l :   p( l ) = p1 .    (8)
Для интегрирования уравнения (6) после определения константы C1 необхо-
димо сформулировать условия однозначности определения функции v =v( r ) .
Можно задать два следующих граничных условия:
                                      r =r0 :           v(r0 ) =0 ,                         (9)
                                                        ∂v
                                      r =0 :                =0 .                           (10)
                                                        ∂r
Первое из них представляет собой выражение условия прилипания или непро-
скальзывания жидкости на внутренней поверхности трубы, а второе – условие
отсутствия особой точки у профиля скорости на оси трубы. Это условие экви-
валентно физическому предположению о невозможности неограниченного
возрастания значения скорости на оси трубы и её симметричности относи-
тельно оси Z.

            13.4. Исследование полученной математической модели
     Таким образом, предложенная модель представляет собой совокупность
двух двухточечных краевых задач (7.2), (8) и (6), (9), (10) для линейных обык-
новенных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными ко-
эффициентами относительно двух неизвестных функций – v(r) и p(z). Причем
краевая задача для функции p( z ) интегрируется отдельно от второй краевой
задачи для функции v(r). Для таких краевых задач решение существует, един-
ственно, а их уравнения допускают непосредственное прямое интегрирование.
     В построенной математической модели пять числовых параметров, каж-
дый из которых может принимать значения из некоторого диапазона допусти-
мых значений.

                 13.5. Преобразование математической модели
    Прежде всего необходимо выполнить анализ подобия полученной задачи.
С этой целью определим характерные величины или масштабы для зависимых
и независимых переменных. Для пространственных переменных они опреде-