Составители:
Рубрика:
24
Каждый предмет можно положить в любой из k ящиков. Получаем k
n
способов
распределения предметов по ящикам.
Задача.
Сколькими способами можно разделить 8 различных пирожных между 5 детьми?
Решение.
Необходимо разложить 8 предметов по 5 ящикам. Это можно сделать 5
8
=390 625
способами.
Сколькими способами можно поместить n различных предметов в k ящиков, если
не должно быть пустых ящиков?
Данные r ящиков остаются пустыми, если в k–r ящиков предметы кладутся без
ограничений. r пустых ящиков можно выбрать C
n
k
способами. В оставшиеся k–r ящиков
предметы можно разложить (k–r)
n
способами. По формуле включений и исключений число
распределений, при которых хотя бы один ящик остается пустым, равно
nk
k
kn
k
n
k
CkCkC 1)1(....)2()1(
121
⋅⋅−++−⋅−−⋅
−
. Тогда количество распределений, при
которых ни один ящик не окажется пустым, равно
k
n
-(
nk
k
kn
k
n
k
CkCkC 1)1(....)2()1(
121
⋅⋅−++−⋅−−⋅
−
).
Задача.
Сколькими способами можно послать по почте 8 различных фотографий, использовав 5
конвертов?
Разбор.
Переформулируем задачу: необходимо 8 предметов разложить в 5 ящиков. Посылать
пустые конверты не рационально, поэтому накладывается запрет на пустые ящики.
Применяя полученную выше формулу, получаем
5
8
-
1
5
C ⋅4
8
+
2
5
C ⋅3
8
-
3
5
C ⋅2
8
+
4
5
C ⋅1
8
=126 020.
Имеется n
1
предметов одного сорта, n
2
– другого, ... , n
s
– s-го сорта. Сколькими
способами их можно разложить по k ящикам, если не должно быть пустых ящиков?
Применяя рассуждения, аналогичные предыдущей задаче, получим следующую
формулу
113
3
3
3
22
2
2
2
11
1
1
1
1
1
)1(............
1121
−−−
−+
−
−+
−
−+
−
−+
−
−+
−
−+
−
−+
⋅−+−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅
k
k
kk
kn
k
knk
k
kn
k
knk
k
kn
k
kn
k
kn
CCCCCCCCCC
sss
.
Задача.
Сколькими способами можно разделить 8 яблок, 10 груш и 7 апельсинов между 4
детьми, если каждый должен получить хотя бы один фрукт?
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- …
- следующая ›
- последняя »
