Методические материалы для изучения алгоритмов реализации методов безусловной оптимизации непрерывных одномерных и многомерных унимодальных функций. Корнилов А.Г. - 6 стр.

                                                   5

                               F(x)                                           F(x)




                                                         касательная

                                               x                                                x
                                 касательная
стационарная
точка                                                  точка перегиба

   Необходимым условием того, что в точке х* функция F(x) имеет мах или
min, является F ‘(x*) = 0 - (необходимое условие первого порядка). Такая точка
называется стационарной. Графически производная представляет собой тангенс
угла наклона касательной в рассматриваемой точке к оси х. Таким образом в
точке оптимума касательная параллельна оси х. Однако этого недостаточно.
       Действительно ,
         F(x)




                                                            x
                       x1        x2
точки х1 и х2 обе являются стационарными, однако х1 является точкой перегиба и
не соответствует оптимуму (глобальному максимуму).
       Условие второго порядка (достаточное):
      Для того, чтобы функция F(x) имела в стационарной точке безусловный
локальный минимум (максимум), необходимо чтобы вторая производная была
отрицательна (положительна)
⎛ d 2t ⎞
⎜⎜ dx 2 ⎟⎟               < 0
 ⎝       ⎠   x = x   *




                     Производные более высокого порядка ⎛⎜          d 2t ⎞
                                                                  ⎜ dx 2 ⎟⎟               > 0
                                                                  ⎝       ⎠   x = x   *




         Если вторая производная          F"(x)=0, то необходимо исследовать
производную более высокого порядка и если Ff '(x) = F «x)= F «'(x)= ...= F i(x)= 0,
а F(i+1)(x)≠0, то в случае i+1 - нечетное число - экстремума нет, в случае i+1-
четное число - экстремум есть. (F(i+1)>0- min; F(i+1)<0-max).
      Из математики известно, что поиск min (т.е. минимизацию) можно
трактовать как поиск max (т.е. максимизацию), так как min F(x) = max (- F(x)).
Примеры:Найдем точку min для функции y=F(x)=x2.
y I =2x стационарная точка х*=0 так как y I(x*)=0. Так как y II >0 то определили
min.
        1. Найдем точку max для функции F(x)= -F(x) = - x2.
y I =-2x стационарная точка х*=0 так как y I(x*)=0. Так как y I I = -2 то определили
max.