Численные методы. Корнюшин П.Н. - 88 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

88
Пусть заданы линейные выражения переменных y
1
, y
2
,…, y
r
,…, y
m
, Z через
-x
1
, -x
2
,…, -x
s
,…, -x
n
:
.)(...)(...)()(
;)(...)(...)()(
.............................................................................
;)(...)(...)()(
............................................................................
;)(...)(...)()(
;)(...)(...)()(
2211
2211
2211
2222221212
1112121111
LxxxxZ
bxaxaxaxay
bxaxaxaxay
bxaxaxaxay
bxaxaxaxay
nnss
mnmnsmsmmm
rnrnsrsrrr
nnss
nnss
+−++−++−+−=
+−++−++−+−=
+−++−++−+−=
+−++−++−+−=
+−++−++−+−=
γγγγ
Запишем эти выражения в виде табл. 3
Таблица 3
-x
1
-x
2
… -x
s
… -x
n
1
y
1
= a
11
a
12
… a
1s
… a
1n
b
1
y
2
= a
21
a
22
… a
2s
… a
2n
b
2
… … … … … … … …
y
r
= a
r1
a
r2
… a
rs
… a
rn
b
r
… … … … … … … …
y
m
= a
m1
a
m2
… a
ms
… a
mn
b
m
Z=
γ
1
γ
2
…
γ
s
…
γ
n
L
Допустим, что нужно поменять ролями переменные x
s
и x
r
. Необходимые для этого
алгебраические преобразования и составляют так называемый один шаг жордановых исключений
сведущим элементом a
rs
. Предполагая, что ведущий элемент a
rs
≠
0, найдем сначала из r-го
равенства (y
r
=…) выражение для x
s
:
.)(...)(
1
...)()(
2
2
1
1
rs
r
n
rs
rn
r
rsrs
r
rs
r
s
a
b
x
a
a
y
a
x
a
a
x
a
a
x +−++−++−+−=
Коэффициенты полученного выражения для x
s
составят элементы, расположенные в новой
таблице вместо элементов ведущей строки старой таблицы. Заметим, что подтверждаются
закономерности, 1 и 2, указанные выше.
Затем, подставив полученное выражение для x
s
в выражение для любого y
i
(i=1, 2,…, m;
i
≠ r), получим:
,)(...)(...)()(
'''
2
'
21
'
1
ininrisiii
bxayaxaxay +−++−++−+−= (6)
где (как легко подсчитать) 
                                                             88


        Пусть заданы линейные выражения переменных y1, y2,…, yr,…, ym, Z через
                                    -x1, -x2,…, -xs,…, -xn:
                      y1 = a11 (− x1 ) + a12 (− x 2 ) + ... + a1s (− x s ) + ... + a1n (− xn ) + b1 ;
                     y 2 = a21 (− x1 ) + a 22 (− x 2 ) + ... + a 2 s (− x s ) + ... + a 2 n (− xn ) + b2 ;
                             ............................................................................
                      y r = a r1 (− x1 ) + a r 2 (− x2 ) + ... + ars (− x s ) + ... + a rn (− x n ) + br ;
                            .............................................................................
                    y m = a m1 (− x1 ) + a m 2 (− x2 ) + ... + a ms (− x s ) + ... + a mn (− xn ) + bm ;
                         Z = γ 1 (− x1 ) + γ 2 (− x2 ) + ... + γ s (− x s ) + ... + γ n (− xn ) + L.
        Запишем эти выражения в виде табл. 3

        Таблица 3
                                  -x1       -x2        …          -xs       …         -xn         1

                       y1=        a11       a12        …          a1s       …         a1n        b1

                       y2=        a21       a22        …          a2s       …         a2n        b2

                        …          …         …         …          …         …          …         …

                       yr=        ar1        ar2       …          ars       …         arn        br

                        …          …         …         …          …         …          …         …

                       ym=        am1       am2        …          ams       …         amn        bm

                       Z=          γ1        γ2        …          γs        …          γn         L

       Допустим, что нужно поменять ролями переменные xs и xr. Необходимые для этого
алгебраические преобразования и составляют так называемый один шаг жордановых исключений
сведущим элементом ars. Предполагая, что ведущий элемент ars ≠ 0, найдем сначала из r-го
равенства (yr=…) выражение для xs:
                           a r1          a                     1                   a            b
                    xs =        (− x1 ) + r 2 (− x2 ) + ... +      (− y r ) + ... + rn (− xn ) + r .
                           a rs          a rs                 a rs                 ars          a rs
         Коэффициенты полученного выражения для xs составят элементы, расположенные в новой
таблице вместо элементов ведущей строки старой таблицы. Заметим, что подтверждаются
закономерности, 1 и 2, указанные выше.
         Затем, подставив полученное выражение для xs в выражение для любого yi (i=1, 2,…, m;
i ≠ r), получим:
                   yi = ai'1 (− x1 ) + ai' 2 (− x2 ) + ... + ais' (− y r ) + ... + ain' (− xn ) + bi' , (6)
где (как легко подсчитать)

Страницы