Разработка и анализ математических моделей с использованием MATLAB и MAPLE. Коробейников А.Г. - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

57
7 Охлаждение и нагревание
7.1 Изменение температуры тела
Согласно закону охлаждения Ньютона, изменение температуры T(t)
тела, погруженного в среду с постоянной температурой А,
пропорциональна разности А – T:
()
dT
kT A
dt
=
−−
где k – положительная константа. Это линейное дифференциальное
уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами:
dx
ax b
dt
=
+ .
Оно включает показательное уравнение как частный случай (b = 0)
и также просто решается разделением переменных.
Пример 7.1.
Один килограмм мяса, предварительно нагретый до
20°С, начинают жариться в духовке при 180°С в 17:00. После 30 минут
оказывается, что температура T(t) равна 55° С. Когда температура жаркого
будет равна 85° С (средний тип, не пережарено и не недожарено).
Решение. Измеряем время t в минутах, причем t = 0 соответствует
17:00. Также предполагаем (несколько нереалистично), что в любой
момент температура T(t) жаркого одинакова по всему жаркому. Имеем T(t)
< А = 180, Т(0) = 20 и Т(30) = 55. Тогда:
()
180−−= Tk
dt
dT
;
dtkdT
T
∫∫
=
−180
1
; -ln(180-T) = kt + C; ⇒ 180-T = Be
-kt
.
Теперь из T(0) = 20 получаем В = 160, так что T(t) = 180 – 160e
-kt
.
Мы также знаем, что Т = 55 при t = 30. Подстановка этих значений в
предыдущее уравнение влечет:
k = -(1/30) ln(125/160) ≈ 0.00822.
Следовательно, мы должны решить уравнение:
85 = 180 -160e
(-0.00822)t
для t
f
= -[ln(95/160)]/(0.00822) ≈ 64 (минуты), общее время, требуемое для
приготовления жаркого. Поскольку жаркое было помещено в духовку в
17:00, его нужно вынуть из нее примерно в 18:04.
Текст на MAPLE
>
restart:
>
ins:=T(0)=20:
>
A:=180:
>
my_diff:=diff(T(t),t)=-k*(T(t)-A);
:= my_diff =
d
d
t
()T t −k () − ()T t 180
>
dsolve({my_diff,ins});
= ()T t − 180 160 e
()
−
k
t

Страницы