Составители:
59
7.2 Колебания температуры внутри помещения
В интересной прикладной задаче, в которой используется решение
линейного дифференциального уравнения, рассматриваются колебания
температуры внутри помещения, которые вызываются наружными
колебаниями температуры, имеющими форму:
A(t) = а
0
+ а
1
cos ωt + b
1
sin ωt.
Если ω = π/12, то эти колебания имеют период 24 часа (так что цикл
колебания наружной температуры повторяется ежедневно). Например, в
течение типичного дня конца августа в г. Геленжик минимальная
температура равна 21°С в момент времени t = 4 (утра), а максимум 33°С
достигается, когда t = 16 (4 часа пополудни). В этом случае мы взяли
бы:
A(t) = 27 – 6⋅cos(ω(t – 4)) =27-3⋅cos(ωt) – 3⋅(3)
1/2
sin(ωt).
Если мы запишем закон Ньютона для охлаждающегося тела для
соответствующей внутренней температуры u(t) в момент времени t, но
вместо постоянной температуры A окружающей среды A(t) подставим
внешнюю температуру, то мы получим линейное дифференциальное
уравнение первого порядка:
()
()
;
du
ku At
dt
=− −
Иными словами
()
01 1
cos sin
du
ku k a a t b t
dt
ω
ω
+= + +
(7.1)
с коэффициентами (функциями) P(t)≡k и Q(t)≡kA(t) Типичные значения
константы пропорциональности к лежат в интервале от 0.2 до 0.5 (хотя k
может быть больше, чем 0.5 для плохо изолированного здания с
открытыми окнами, или меньше, чем 0.2 для хорошо теплоизолированного
здания с плотно (почти герметично) закрытыми окнами).
Сценарий. Предположим, что однажды в полночь (в момент
времени t
0
= 0) наш кондиционер сломался, и мы не можем
отремонтировать его до дня зарплаты в конце месяца. Мы поэтому хотим
исследовать колебания температуры в комнате, которые нам придется
терпеть в течение нескольких следующих дней.
Начните ваше исследование с решения уравнения (7.1) при
начальном условии u(t)=u
0
(внутренняя температура во время отказа
кондиционера). Можно использовать систему компьютерной алгебры.
Получим решение:
u(t) = а
0
+ c
0
e
–kt
+ c
1
cos ωt + d
1
sin ωt,
где
22 2
11 11 11
000 1 1
22 22 22
, , ,
ka kb ka kb ka kb
cua c d
kk k
ωωω
ωω ω
−− −
=−− = =
++ +
причем ω = π/12.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 58
- 59
- 60
- 61
- 62
- …
- следующая ›
- последняя »
