Разработка и анализ математических моделей с использованием MATLAB и MAPLE. Коробейников А.Г. - 78 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

77
Следовательно, тело колеблется около положения равновесия,
причем колебание описывается следующими параметрами.
1. Амплитуда C.
2. Круговая частота ω
0
.
3. Фаза α.
Такие колебания называются гармоническими колебаниями.
Если t измеряется в секундах, то круговая частота ω
0
имеет
размерность радиан в секунду (рад/с). Периодом колебаний называется
время, необходимое системе для совершения одного полного колебания
(качания). Период колебаний равен:
T = 2π/ω
0
секундам. Частота колебаний равна:
ν
= 1/T = ω
0
/2π
герц (Гц). Она равна количеству полных колебаний, совершаемых
маятником за 1 секунду. Заметим, что частота измеряется в колебаниях в
секунду, в то время как круговая частота – в радианах в секунду.
Типичный график зависимости смешения материальной точки,
совершающей гармонические колебания, от времени, т.е. график функции,
представляется формулой:
x(t) = C(cos(
ω
0
t – α) = C(cos(ω
0
(t – α/ω
0
)) = C(cos(ω
0
(t – δ)),
где – δ = α/ω
0
временная задержка.
Пример 12.1. Тело массой m = 1/2 килограмм (кг) прикреплено к
пружине. Пружина под действием силы 100 ньютонов (Н) растягивается на
2 метра (м). Тело начинает двигаться из начального положения х
0
= 1 (м) с
начальной скоростью v
0
= –5 (м/с). (Заметим, что из начальных данных
следует, что в момент времени t = 0 тело смещено вправо и движется
влево.) Найти уравнение движения данного тела, а также амплитуду,
частоту, период колебаний и временную задержку колебаний.
Решение. Жесткость пружины k = 100(Н)/2(м). Поэтому уравнение
(12.2) принимает вид (1/2)х" + 50х = 0 или
х" + 100х = 0.
Следовательно, круговая частота гармонических колебаний равна
ω
0
= (100)
1/2
= 10 (рад/сек). Поэтому период колебаний равен:
T = 2π/ω
0
= 2π/10 ≈ 0.6283 (с),
а частота равна:
ν
= 1/T = ω
0
/2π = 10/2π ≈ 1.5915 (Гц).
Подставим теперь начальные условия х(0) = 1 и х
′
(0) = –5 в урав-
нение движения:
x(t)=Acos10t + Bcos10t и x
′
(t) = –10Asin10t + 10Bcos10t.
Получим A=1 и B= –1/2, т.е. уравнение движения тела в данном
случае имеет вид:
x(t) = cos10t – (1/2)cos10t.

Страницы