Составители:
76
12 Свободные незатухающие колебания
В случае, когда рассматриваемая механическая система состоит
лишь из тела и пружины, а внешние силы и сопротивление отсутствуют,
уравнение (10.2) принимает более простой вид:
mx″ + kx = 0. (12.1)
Удобно обозначить
0
k
m
ω
=
и записать уравнение (12.1) в виде:
x″ + ω
0
2
x = 0. (12.2)
Общее решение уравнения (12.2) представляет собой функцию:
x(t) = Асоsω
0
t + Bsinω
0
t.
Чтобы исследовать колебания, описываемые этим решением,
определим постоянные С и α так, чтобы
22
,CAB=+
cos
A
C
α
=
и
sin
B
C
α
=
. (12.3)
Геометрическая интерпретация этих постоянных показана на рис.
12.1.
Заметим, что хотя tgα = В/А, угол α не равен значению арктангенса
этой величины, так как арктангенс принимает значения из интервала –π/2 <
х < π/2. Вместо этого, α – угол .между 0 и 2π такой, что его косинус и
синус заданы равенствами (12.3), в которых и A, и В или даже обе эти
величины
могут быть отрицательными. Поэтому:
()
()
()
/ , 0, 0 (первая четверть)
/ , 0 (вторая или третья четверть)
2/, 0,0 (четвертая четверть)
arctg B A если AB
arctg B A если A
arctg B A если AB
απ
π
>>
⎧
⎪
=+ <
⎨
⎪
+<<
⎩
где arctg (B/A) – значение угла из интервала (–π/2 < х < π/2).
В любом из этих случаев из равенств (12.2) и (12.3) получим:
x(t) = C(cos α cos ω
0
t + sin α sin ω
0
t).
По формуле косинуса суммы углов, это равенство можно
переписать так:
x(t) = Ccos(ω
0
t – α).
A
B
C
α
Рис. 12.1 Геометрическая интерпретация постоянных C и α.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 75
- 76
- 77
- 78
- 79
- …
- следующая ›
- последняя »
