Разработка и анализ математических моделей с использованием MATLAB и MAPLE. Коробейников А.Г. - 85 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

84
13.3 Затухающие колебания
В этом случае с < c
cr
, (с
2
< 4km). Теперь характеристическое
уравнение имеет два комплексных сопряженных корня
22
0
.
p
ip
ω
−± −
Общее решение имеет вид:
x(t) = e
–pt
(Acos
ω
1
t + Bsin
ω
1
t), (13.3)
где
2
22
10
4
.
2
km c
p
m
ωω
−
=−=
(13.4)
Используя формулу косинуса суммы, уравнение (13.3) можно
переписать как:
()
11
cos sin ,
pt
AB
x
tCe t t
CC
ωω
−
⎛⎞
=+
⎜⎟
⎝⎠
откуда
x(t) = Ce
–pt
cos(ω
1
t – α),
где
22
,CAB=+ cos
A
C
α
= и sin
B
C
α
=
.
Решение (13.3) отображает экспоненциально затухающие колебания
материальной точки около положения равновесия. График функции x(t)
лежит между “ограничивающими амплитуду” кривыми x(t) = –Ce
–pt
и Ce
–p
,
касаясь их в точках, где ω
1
t – α кратно
π
. Такие колебания не являются
гармоническими, а движение – периодическим, но тем не менее, и в этом
случае ω
1
называется круговой частотой (или, более точно, круговой
частотой затухающих гармонических колебаний), T
1
= 2π/ω
1
– условным
периодом затухающих гармонических колебаний, а Ce
–p
– амплитудой,
зависящей от времени. Геометрический смысл большинства этих величин
указан на графике решения уравнения затухающих колебаний,
изображенном на рис 13.3. Из уравнения (13.4) видно, что в этом случае ω
1
меньше, чем круговая частота незатухающих колебаний ω
0
, поэтому T
1
больше периода T колебаний тела такой же массой, подвешенного на такой
же пружине, при отсутствии амортизатора. Следовательно, действие
амортизатора выражается, по крайней мере, в двух явлениях.
1. Амортизатор гасит колебания и они экспоненциально затухают (это
выражается в зависимости (уменьшении) амплитуды от времени).
2. Амортизатор замедляет движение, т. е. уменьшает частоту
колебаний.
На следующем примере видно, что затухание обычно также
увеличивает отставание (задержку во времени) по сравнению с
незатухающими колебаниями с теми же начальными условиями.
Пример 13.1. Пусть теперь, как и в примере 12.1, материальная
точка подвешена на пружине, но, кроме пружины, на нее действует
амортизатор с силой сопротивления 1 Н на каждый метр в секунду
скорости. Тело приведено в движение из того же начального положения
х(0) = 1 с той же начальной скоростью х'(0) = –5, как и в примере 20.

Страницы