Составители:
85
Нужно найти уравнение движения тела, его круговую частоту и условный
период колебаний, временную задержку, а также определить время,
необходимое материальной точке для ее первых четырех прохождений
через точку х = 0.
Решение. На этот раз мы не будем использовать ранее выведенные
формулы. Вместо этого мы получим дифференциальное уравнение и затем
найдем решение в явном виде. Напомним, что m = 1/2 и k = 50. Также
имеем с = 1. Отсюда уравнение (10.2) принимает вид (1/2)х" + х' + 50х = 0
или х" +2х' + 100х = 0.
Запишем характеристическое уравнение: r
2
+ 2r + 100 = (r + 1)
2
+ 99
= 0. Его корни r
1,2
= –1 ± i(99)
½
, поэтому общее решение имеет вид:
()
()
cos 99 sin 99 .
t
x
teA tB t
−
=+
(13.5)
Следовательно, новая круговая частота затухающих колебаний ω
1
=
(99)
½
≈ 9.9499 (сравните с ω
0
=10 в примере 12.1). Условный период T
1
=
2π/ω
1
≈ 0.6315 и частота
ν
1
=1/T
1
= ω
1
/2π ≈ 1.5836 Гц (Сравните с T ≈
0.6283 < T
1
и
ν
≈ 1.5915 >
ν
1
в примере 12.1).
Подставим теперь начальные данные х(0) = 1 и х'(0) = –5, в уравне-
ние движения (13.5). Тогда получим функцию скорости движения:
()
()
(
)
cos 99 sin 99 99 sin 99 cos 99 .
tt
x
teA tB t e A tB t
−−
′
=++−+
Отсюда следует, что
х(0) = A = 1 и х'(0) = –A + B(99)
½
= –5.
Таким образом. A = l и B = –4/(99)
½
. Значит, уравнение движения
тела имеет вид:
()
4
cos 99 sin 99 .
99
t
x
te t t
−
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠
Амплитуда затухающих колебаний равна:
()
2
2
4115
1.
99
99
ttt
Ce e e
−−−
⎛⎞
=+− =
⎜⎟
⎝⎠
Следовательно, можно записать уравнение движения:
()
()
1
115 4 115
cos 99 sin 99 cos 99 ,
99
99 99
tt
xt e t t e t
α
−−
⎛⎞
=−=−
⎜⎟
⎝⎠
где фаза α
1
удовлетворяет условиям:
cos α
1
= (99/115)
1/2
> 0 и sin α
1
= – 4/(115)
1/2
< 0.
Поэтому α
1
лежит в четвертой четверти, т. е.:
1
4 / 115 4
2 2 5.9009,
99 / 115 99
arctg arctg
απ π
⎛⎞
−
⎛⎞
=+ =− ≈
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
и временная задержка:
δ
1
= α/ω
1
≈ 0.5931 с.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 84
- 85
- 86
- 87
- 88
- …
- следующая ›
- последняя »
