Составители:
89
7. Предположим, что Земля имеет форму шара, радиус которого равен R =
63730 (км), а ее масса равна М. Предположим также, что ее плотность
одинакова по всему объему. Для частицы массой m, находящейся внутри
Земли на расстоянии r от центра, сила притяжения частицы к центру Земли
равна F
r
= –GM
r
m/r
2
, где М
r
обозначает массу той части Земли, которая
заключена внутри шара радиуса r.
а) Покажите, что F
r
= –GMmr/R
3
.
b) Предположим, что прямо через центр Земли просверлено небольшое
отверстие, соединяющее диаметрально противоположные точки ее
поверхности. Частицу массой m в момент времени t=0 бросили в это
отверстие с нулевой начальной скоростью. Обозначим через r(t)
расстояние от центра Земли до частицы в момент времени t (рис. 13.6).
Учитывая второй закон Ньютона и
результат полученный в пункте (а),
покажите, что r"(t) = –k
2
r(t), где k
2
= GM/R
3
= g/R.
c) Пусть g = 9.81 м/с
2
. Учитывая результат пункта (b), покажите, что
частица будет совершать простые гармонические колебания от одного
конца отверстия к другому с периодом около 84 минут.
d) Найдите (или выведите) период вращения спутника вокруг Земли,
предполагая, что он скользит по поверхности. Сравните его с результатом
пункта (с). Как вы объясните совпадение? Является ли это совпадением?
е
) С какой скоростью (в км/час) частица пролетает мимо центра Земли?
f) Найдите (или выведите) скорость полета спутника вокруг Земли,
предполагая, что он скользит по поверхности. Сравните с результатом
пункта (е). Как вы объясните совпадение? Действительно ли это
совпадение?
8. Пусть система состоит из тела заданной массы, закрепленного на
пружине с амортизатором. Пусть параметры системы следующие: Пусть
m
R
r
F
R
Рис. 13.6. Частица массой m, падающая в отверстие,
проходящее через центр земли (задача 7)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 88
- 89
- 90
- 91
- 92
- …
- следующая ›
- последняя »
