Новационные методы анализа стохастических процессов и структур в оптике. Фрактальные и мультифрактальные методы, вейвлет-преобразования. Короленко П.В - 74 стр.

Глава 4. ПРИМЕНЕНИЕ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЙ


к Фурье-образам сигнала X̂ k и вейвлетной функции ψ̂ и
воспользоваться теоремой о свертке с тем, чтобы свести
вычисление коэффициентов W (a, k ) к обратному Фурье-пре-
образованию от произведения X̂ k на ψ̂ ∗ .
     Рассмотрим численную процедуру вейвлет-преобразования на
примере анализа модельного сигнала, построенного на основе
функции Вейерштрасса (2.2.9) ( σ = 0,25 , b = 1,3 , D = 1,5 , s = 5 ,
N = 10 , t = ∆t ⋅ k , ∆t = 1 ). Для того, чтобы расширить спектр
сингулярностей, на функцию Вейерштрасса накладывалась
                                                rnd (k )
дополнительная случайная функция 0,15 ⋅                  . Одна из
                                                  k
реализаций модельного сигнала показана на рис. 4.2. На этом же
рисунке приведены картина вейвлет-коэффициентов и линии
локальных экстремумов. Вейвлет-коэффициенты рассчитывались
при задании параметра a в виде a = 2m.
     Картина вейвлет-коэффициентов хорошо демонстрирует
иерархическую структуру флуктуаций сигнала. Каждое дробление
масштаба        отмечено        появлением    в      распределении
коэффициентов характерных "вилочек" – раздвоением локальных
максимумов. Каскадное дробление экстремумов подтверждает и
структура скелетона экстремумов. Отмеченные особенности
обусловлены тем, что исследуемый сигнал, будучи построенным
на основе функции Вейерштрасса, обладает свойствами
самоподобия. Самоподобие проявляется, в частности, в
увеличении числа линий скелетона, происходящем при
уменьшении a , а также в наличии определенной квазипе-
риодичности в положении линий скелетона, относящихся к каж-
дому масштабу a .
     На рис. 4.3 показан рассчитанный с помощью выражения
(4.2.8) глобальный спектр энергии (скалограмма) сигнала,
усредненный         по     нескольким     реализациям       функции
Вейерштрасса, отличающимся фазами парциальных гармоник
 ψ n . Эта очень важная характеристика является аналогом спектра
мощности сигнала при Фурье-анализе. Из рисунка хорошо видно,
что максимум энергии приходится на ту составляющую


74