Основы статистических методов в оптике. Короленко П.В - 102 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Глава IV. Анализ случайных процессов
102
исследованиях. Некоторые примеры такого использо-
вания приведены в приложениях 7 и 8.
4.7. Энергетический спектр стационарного
случайного процесса
Рассмотрим возможность применения гармониче-
ского анализа к изучению свойств стохастических
процессов. Сразу отметим, что непосредственное при-
менение классического гармонического анализа к слу-
чайным процессам невозможно, так как спектральные
плотности, рассчитанные по спектрам Фурье их реали-
заций, не имеют конечных значений при любых часто-
тах. В прочем, можно обобщить гармонический ана-
лиз, усредняя спектральные разложения, полученные
из отдельных выборок.
Рассмотрим одну реализацию
(
)
tX
k
случайного
процесса
()
tX
. Пусть, кроме того,
(
)
(
)
tX
k
T
– усеченная
реализация, равная нулю вне интервала
2
T
t
≤ и совпа-
дающая с
()
()
tX
k
внутри этого интервала. Спектр (пре-
образование Фурье) функции
(
)
(
)
tX
k
T
имеет вид
()
()
()
()
∫
−
ω−
=ω
2
2
e
T
T
tik
T
k
T
dttXZ . (4.7.1)
Средняя мощность на частоте
ω
, отнесенная к по-
лосе
Tf 1=∆ , равна
()
()
()
()
()
()
()
()
()
∫∫
−−
−ω−
=
=ω=ω
2
2
2
2
2121
2
.e
2
2
21
T
T
T
T
tti
k
T
k
T
k
T
k
T
dtdttXtX
T
Z
T
G
(4.7.2) 
Глава IV. Анализ случайных процессов


исследованиях. Некоторые примеры такого использо-
вания приведены в приложениях 7 и 8.

      4.7. Энергетический спектр стационарного
                 случайного процесса
    Рассмотрим возможность применения гармониче-
ского анализа к изучению свойств стохастических
процессов. Сразу отметим, что непосредственное при-
менение классического гармонического анализа к слу-
чайным процессам невозможно, так как спектральные
плотности, рассчитанные по спектрам Фурье их реали-
заций, не имеют конечных значений при любых часто-
тах. В прочем, можно обобщить гармонический ана-
лиз, усредняя спектральные разложения, полученные
из отдельных выборок.
    Рассмотрим одну реализацию X k (t ) случайного
процесса X (t ) . Пусть, кроме того, X T(k ) (t ) – усеченная
                                                   T
реализация, равная нулю вне интервала t ≤ и совпа-
                                                   2
дающая с X (t ) внутри этого интервала. Спектр (пре-
            (k )

образование Фурье) функции X T(k ) (t ) имеет вид
                                          T 2

                         Z T(k ) (ω) =     ∫ X (t )e
                                              ( )
                                                 T
                                                     k      − iωt
                                                                    dt .           (4.7.1)
                                         −T 2


   Средняя мощность на частоте ω, отнесенная к по-
лосе ∆f = 1 T , равна
               2 (k )
GT(k ) (ω) =     Z T (ω) =
                        2

               T
                   T 2 T 2                                                         (4.7.2)
               2
                           X T(k ) (t1 )X T(k ) (t 2 ) e −iω(t1 −t 2 ) dt1dt 2 .
               T −T∫ 2 −T∫ 2
          =


102

Страницы